Bhaskara nasceu em 1114, na Índia, numa terra chamada Vijalavida (da qual se desconhece a localização) e morreu, provavelmente, em 1193, aos 79 anos. O seu pai, Mahervara (1078-?), foi astrónomo e o seu professor.
Bhaskara escreveu o Siddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150. O seu manuscrito está dividido em quarto partes – Lilavati (A Bela) sobre aritmética; Bijaganita sobre a álgebra, Goladhyayasobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste e Grahaganita sobre a matemática dos planetas.
O seu livro foi usado em toda a Índia, tendo substituído maior parte dos textos que eram utilizados até então, como o do astrónomo indiano Lalla (720 - 790), mas só saiu as fronteiras da Índia no século XVI. Nessa altura foi traduzido para persa por Faizi (1587). Foi este tradutor que introduziu a história de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara.
De acordo com essa história, a partir do seu horóscopo, Bhaskara tinha previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exacta tinha construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água, numa vasilha cheia de água. De tal forma que ao início da hora exacta do casamento o copo afundar-se-ia. Quando tudo estava pronto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma perola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati nunca se casou. Para consolar a sua filha Bhaskara prometeu escrever-lhe um livro de matemática!
É natural que a história tenha sido inventada por Faizi, mas Bhaskara escreveu realmente o livro com o nome de uma mulher.
Lilavati contém 278 versos. Trata de vários assuntos:
O seu livro foi usado em toda a Índia, tendo substituído maior parte dos textos que eram utilizados até então, como o do astrónomo indiano Lalla (720 - 790), mas só saiu as fronteiras da Índia no século XVI. Nessa altura foi traduzido para persa por Faizi (1587). Foi este tradutor que introduziu a história de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara.
De acordo com essa história, a partir do seu horóscopo, Bhaskara tinha previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exacta tinha construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água, numa vasilha cheia de água. De tal forma que ao início da hora exacta do casamento o copo afundar-se-ia. Quando tudo estava pronto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma perola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati nunca se casou. Para consolar a sua filha Bhaskara prometeu escrever-lhe um livro de matemática!
É natural que a história tenha sido inventada por Faizi, mas Bhaskara escreveu realmente o livro com o nome de uma mulher.
Lilavati contém 278 versos. Trata de vários assuntos:
O sistema de numeração Oito operações numéricas com números inteiros (adição, subtracção, multiplicação, divisão, quadrados, raízes quadradas, cubos, raízes cúbicas) As oito operações com fracções Oito regras relativas ao zero Descobrir quantidades desconhecidas Equações quadráticas Medições (teorema de Pitágoras) Problemas geométricos de sombras (trigonometria) Modificação da Kuttaka (a equação ax + c = by), da varga prakrit (a equação nx2 + 1 =y2, com n inteiro positivo, também conhecida como equação de Pell) Permutações e partições. O uso da fórmula de Bhaskara
Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes existe o link Números Complexos.
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x2 - 5 x + 6 = 0- Identificar os coeficientes a = 1 , b = -5 , c = 6
- Escrever a fórmula do discriminante D = b2 - 4ac
- Calcular o discriminante D = (-5)2 - 4.1.6 = 25 - 24 = 1
- Escrever a fórmula de Bhaskara:
- Substituir os coeficientes a, b e c na fórmula de Bhaskara: x' = (1/2) (5 + R[1]) = (5+1) / 2 = 3
x" = (1/2) (5 - R[1]) = (5-1) / 2 = 2
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo:
a x2 + b x + c = 0é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula de Bhaskara, que também pode ser escrita na forma:
onde D=b2-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
- Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
- Se D=0, há duas soluções iguais: x' = x" = -b / 2a
- Se D>0, há du
- as soluções reais e diferentes:
x" = (-b - R[D])/2a
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
- Equações do tipo ax2=0Basta dividir toda a equação por a para obter:x2 = 0significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
- Equações do tipo ax2+c=0Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:x2 = -c/aSe –c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.Se –c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
- Equações do tipo ax2+bx=0Neste caso, fatoramos a equação para obter:x (ax + b) = 0e a equação terá duas raízes:x' = 0ou x" = -b/a
Nenhum comentário:
Postar um comentário