Números irmãos

  O palácio do Califa. Beremiz é recebido pelo rei. Os poetas e a Amizade. A amizade entre os homens e a amizade entre os números. 

Quatro dias depois, pela manhã, fomos informados de que seríamos recebidos em audiência solene pelo califa Abul-Abas-Ahmed Al-Motacém Billah, Emir dos Crentes, Vigário de Allah. Aquela comunicação, tão grata para qualquer muçulmano era, não só por mim como também por Beremiz, ansiosamente esperada.

É bem possível que o soberano, ao ouvir o Xeque Iezid narrar alguma das proezas praticadas pelo exímio matemático, tivesse mostrado interesse em conhecer o "homem que calculava". Não se pode explicar de outro modo a nossa presença na corte entre as figuras do mais alto prestígio da alta sociedade de Bagdá.

Fiquei deslumbrado ao entrar no rico palácio do Emir.

Os reposteiros, as tapeçarias, os divãs, tudo enfim quanto constituía a mobília do palácio demonstrava a magnificência inexcedível de um príncipe das lendas hindus.

Lá fora, nos jardins, reinava a mesma pompa.

Fomos conduzidos ao divã das audiências por um dos auxiliares do vizir Ibraim Maluf.

Avistamos, ao chegar, o poderoso monarca sentado em riquíssimo trono de marfim e veludo. Perturbou-me, de certo modo, a beleza estonteante do grande salão. Todas as suas paredes eram adornadas com inscrições admiráveis feitas pela arte caprichosa de um calígrafo genial. As legendas apareciam, em relevo, sobre fundo azul claro em letras pretas e vermelhas. Notei que eram versos dos mais brilhantes poetas de nossa terra! Jarras de flores por toda a parte, flores desfolhadas sobre coxins, sobre alcatifas, ou em salvas de ouro e prata primorosa-mente cinzeladas.

Ricas e numerosas colunas ostentavam-se ali, orgulhosas, com os seus capitéis e pedestais, elegantemente ornadas pelo cinzel dos artistas árabes de Espanha, que sabiam, como ninguém, multiplicar engenhosamente as combinações das figuras geométricas associadas a folhas e flores de tulipas, de açucenas e de mil plantas diversas, numa harmonia maravilhosa e de inexcedível beleza.

- Muitas coisas importantes pretendo resolver na audiência de hoje - começou o califa. - Não quero, porém, iniciar os trabalhos e discutir os altos problemas políticos, sem receber uma prova clara e precisa de que o matemático persa, recomendado pelo meu amigo, o poeta Iezid, é realmente um grande e hábil calculista.

Interpelado desse modo pelo glorioso monarca, Beremiz sentiu-se no dever imperioso de corresponder com brilhantismo à confiança que o Xeque Iezid nele depositara.

Dirigindo-se, pois, ao sultão, assim falou:

- Não passo, ó Comendador dos Crentes!, de rude pastor que acaba de ser distinguido com a vossa honrosa atenção.

E, após curta pausa:

- Acreditam entretanto os generosos amigos ser justo incluir o meu nome entre os calculistas. Sinto-me lisonjeado com tão alta distinção. Penso, porém, que os homens são, em geral, bons calculistas. Calculista é o soldado, que em campanha avalia com o olhar a distância de uma parasanga; calculista é o poeta que conta as sílabas e mede a cadência dos versos; calculista é o músico que aplica na divisão dos compassos as leis da perfeita harmonia; calculista é o pintor que traça as figuras segundo proporções invariáveis para atender aos princípios da perspectiva; calculista é o humilde esteireiro que dispõe, um por um, os cem fios de seu trabalho - todos, enfim, ó rei!, são bons e hábeis calculistas!

E, depois de correr os olhos pelos nobres que rodeavam o trono, Beremiz prosseguiu:

- Noto, com infinita alegria, que estais rodeado de ulemás e doutores. Vejo à sombra de vosso trono poderoso homens de valor que cultivam os estudos e engrandecem a ciência. A companhia dos sábios, ó Rei!, é para mim o mais caro tesouro! O homem só vale pelo que sabe. Saber é poder. Os sábios educam pelo exemplo e nada há que avassale o espírito humano mais suave e profundamente do que o exemplo. Não deve, porém, o homem cultivar a ciência senão para utilizá-la na prática do bem. Sócrates, filósofo grego, afirmava com o peso de sua autoridade enorme: "Só é útil o conhecimento que nos faz melhores". Sêneca, outro pensador famoso, indagava descrente: "Que importa saber o que é linha reta quando não sabe o que seja retidão?". Permiti, pois, ó rei generoso e justo!, que eu renda a minha desvaliada homenagem aos doutores e ulemás que se acham neste divã!

- Nos trabalhos de cada dia, observando-se as coisas que Allah tirou do Não-ser para a realidade do Ser, aprendi a avaliar os números e transformá-los por meio de regras práticas e seguras. Sinto-me, entretanto, em dificuldade para apresentar a prova que acabais de exigir. Confiando, porém, na vossa proverbial generosidade, cumpre-me dizer-vos que não vejo, neste rico divã, senão demonstrações admiráveis e eloqüentes de que a Matemática existe por toda a parte. Adornam as paredes deste belo salão vários versos que encerram precisamente um total de 504 palavras, sendo uma parte dessas palavras traçada em caracteres pretos e as restantes em caracteres vermelhos! O calígrafo que desenhou esses versos, fazendo a decomposição das 504 palavras, demonstrou ter tanto talento e imaginação quanto os poetas que escreveram essas imortais poesias!

- Sim, ó Rei magnânimo! - prosseguiu Beremiz - e a razão é simples. Encontro nos versos incomparáveis que enfeitam este esplendido divã grandes elogios sobre a Amizade. Posso reler ali, perto da coluna, a célebre "cassida" de Mohalhil:

"Se os meus amigos me fugirem, de mim fugirão todos os tesouros".

Um pouco abaixo encontro o eloqüente pensamento de Tarafa:

"O encanto da vida depende unicamente das boas amizades que cultivemos".

À esquerda destaca-se o incisivo conceito de Hatim, da tribo do Tai:

"A boa amizade é para o homem o que a água pura e límpida é para o beduíno sedento".

Sim, tudo isto é sublime, profundo e eloqüente. A maior beleza, porém, reside no engenhoso artifício empregado pelo calígrafo para demonstrar que a amizade que os versos exaltam não existe só entre os seres dotados de vida e sentimento! A Amizade apresenta-se, também, até entre números!

- Como descobrir - perguntareis, certamente - entre os números aqueles que estão presos pelos laços da amizade matemática? De que meios se utiliza o geômetra para apontar, na série numérica, os elementos ligados pela estima?

Em poucas palavras poderei explicar em que consiste o conceito de números amigos em Matemática.

Consideremos, por exemplo, os números 220 e 284.

O número – 220 é divisível exatamente pelos seguintes números:

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.

São esses os divisores de 220 e menores que 220.

O número 284 é - por sua vez - divisível, exatamente, pelos seguintes números:

1, 2, 4, 71 e 142.

Pois bem. Há entre esses números coincidência realmente notável. Se somarmos os divisores de 220, acima indicados, vamos obter uma soma igual a 284; se somarmos os divisores de 284 o resultado será, precisamente, 220.

Dessa relação os matemáticos chegaram à conclusão de que os números 220 e 284 são "amigos" - isto é - cada um deles parece existir para servir, alegrar, defender e honrar o outro!

E o calculista concluiu:

- Pois bem, ó Rei generoso e justo!, observei que as 504 palavras que formam o elogio poético da Amizade foram escritas da seguinte forma:

220 em caracteres pretos e 284 em caracteres vermelho! E 220 e 284 são, como já expliquei, números amigos!

E reparai ainda numa relação não menos impressionante. As 50 palavras completam, como é fácil verificar, 32 legendas diferentes. Pois bem. A diferença entre 284 e 220 é 64, número que, além de ser quadrado e cubo, é precisamente, igual ao dobro do número de legendas desenhadas.

O infiel dirá que se trata de simples coincidência! Aquele, porém, que acredita em Deus e tem a glória de seguir os ensinamentos do Santo Profeta Mafoma (com ele a oração e a paz!) sabe que as chamadas coincidências não seriam possíveis se Allah não as escrevesse no livro do Destino! Afirmo, pois, que o calígrafo, ao decompor o número 504 em duas parcelas (220 e 284), escreveu sobre a amizade um poema que enleva todos os homens de alma e espírito esclarecido!

Ao ouvir as palavras do calculista o califa ficou extasiado. Era espantoso que aquele homem contasse, num relance, as 504 palavras dos 30 versos e, ao contá-las, verificasse logo que havia 220 letras em preto e 284 em vermelho!

- As tuas palavras, ó Calculista ! - disse o rei - trouxeram-me a certeza de que és em verdade um geômetra de alto porte. Fiquei encantado com essa interessante relação que os algebristas denominam de "amizade numérica", e estou agora interessado em descobrir qual foi o calígrafo que escreveu, ao fazer a decoração deste divã, os versos que servem de adorno a estas paredes. É fácil verificar se a decomposição das 504 palavras, em parcelas que correspondem a números amigos, foi feita de propósito ou se resultou de um capricho ao Destino (obra exclusiva de Allah, o Exaltado!).

E, fazendo aproximar-se do trono um dos seus secretários, o sultão Al-Motacém perguntou-lhe:

- Lembras-te, ó Nuredin Zarur, do calígrafo que trabalhou neste palácio?

- Conheço-o muito bem, ó Rei ! - respondeu prontamente o Xeque. - Reside junto à mesquita de Otmã.

- Traze-o, pois, aqui, ó Sejid, o mais depressa possível! - ordenou o califa. - Quero interrogá-lo.

- Escuto e obedeço!

E saiu célebre a cumprir a ordem do soberano.

(“O Homem Que Calculava”)

A lenda do jogo de xadrez

Lenda sobre a origem do jogo de xadrez contada ao califa de Bagdá, Al-Motacém Bilah, Emir dos Crentes, por Beremiz Samir, o Homem que Calculava.

Difícil será descobrir, dada a incerteza dos documentos antigos, a época precisa em que viveu e reinou na Índia um príncipe chamado Iadava, senhor da província da Taligana. Fora, porém, injusto ocultar que o nome desse monarca vem sendo apontado por vários historiadores hindus como um dos soberanos mais ricos e generosos de seu tempo.

A guerra, com o cortejo fatal de suas calamidades, muito amargou a existência do rei Iadava, transmudando-lhe o ócio e gozo da realeza nas mais inquietantes atribulações. Adstrito ao dever que lhe impunha a coroa de zelar pela tranqüilidade de seus súditos, viu-se o nosso bom e generoso monarca forçado a empunhar a espada para repelir, à frente de pequeno exército, um ataque insólito e brutal do aventureiro Varangul, que se dizia príncipe de Caliã.

O choque violento das forças rivais juncou de mortos os campos de Dacsina e tingiu de sangue as águas sagradas do rio Sandhu. O rei Iadava possuía - pelo que nos revela a crítica dos historiadores - invulgar talento para a arte militar; sereno em face da invasão iminente, elaborou um plano de batalha, e tão hábil e feliz foi em executá-lo que logrou vencer e aniquilar por completo os pérfidos perturbadores da paz do seu reino.

O triunfo sobre os fanáticos de Varangul custou-lhe, infelizmente, pesados sacrifícios: muitos jovens quichátrias () pagaram com a vida a segurança de um trono para prestígio de uma dinastia e, entre os mortos, com o peito varado por uma flecha, lá ficou no campo de combate o príncipe Adjamir, filho do rei Iadava, que patrioticamente se sacrificou, no mais aceso da refrega, para salvar a posição que deu aos seus a vitória final.

Terminada a cruenta campanha e assegurada a nova linha de suas fronteiras, regressou o rei ao suntuoso palácio de Andra, baixando porém formal proibição de que se realizassem as ruidosas manifestações com que hindus soem festejar os grandes feitos guerreiros. Encerrado em seus aposentos, só aparecia para atender aos ministros e sábios brâmanes quando algum grave problema nacional o chamava a decidir, como chefe de Estado, no interesse e para felicidade de seus súditos.

Com o andar dos dias, longe de se apagarem as lembranças da penosa campanha, mais se agravaram a angústia e a tristeza que, desde então, oprimiam o coração do rei. De que lhe poderiam servir, na verdade, os ricos palácios, os elefantes de guerra, os tesouros imensos, se já não mais vivia a seu lado aquele que fora sempre a razão de ser de sua existência? Que valor poderiam ter, aos olhos de um pai inconsolável, as riquezas materiais que não apagam nunca a saudade do filho estremecido?

As peripécias da batalha em que pereceu o príncipe Adjamir não lhe saíam do pensamento. O infeliz monarca passava longas horas traçando, sobre uma grande caixa de areia, as diversas manobras executadas pelas tropas durante o assalto. Com um sulco indicava a marcha da infantaria; ao lado, paralelo ao primeiro, outro traço mostrava o avanço dos elefantes de guerra; um pouco mais abaixo, representada por pequenos círculos dispostos em simetria, perfilava a destemida cavalaria chefiada por um velho "radj" () que se dizia sob a proteção de Techandra, a deusa da Lua. Ainda por meio de gráficos esboçava o rei a posição das colunas inimigas desvantajosamente colocadas, graças à sua estratégia, no campo em que se feriu a batalha decisiva.

Uma vez completado o quadro dos combatentes, com as minudências que pudera evocar, o rei tudo apagava, para recomeçar novamente, como se sentisse íntimo gozo em reviver os momentos passados na angústia e na ansiedade.

À hora matinal em que chegavam a palácio os velhos brâmanes para a leitura dos Vedas já o rei era visto a riscar na areia os planos de uma batalha que se reproduzia interminavelmente.

- Infeliz monarca! - murmuravam os sacerdotes penalizados. - Procede como um "sudra" () a quem Deus privou da luz da razão. Só Dhanoutara poderosa e clemente poderá salvá-lo!

E os brâmanes erguiam preces, queimavam raízes aromáticas, implorando à eterna zeladora dos enfermos que amparasse o soberano de Taligana.

Um dia, afinal, foi o rei informado de que um moço brâmane - pobre e modesto - solicitava uma audiência que vinha pleiteando havia já algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença.

Conduzido à grande sala do trono, foi o brâmane interpelado conforme as exigências da praxe por um dos vizires do rei.

- Quem és, de onde vens e que desejas daquele que pela vontade de Vichnu é rei e senhor de Taligana?

- Meu nome - respondeu o jovem brâmane - é Lahur Sessa e venho da aldeia de Namir, que trinta dias de marcha separam desta bela cidade. Ao recanto em que eu vivia chegou a notícia de que o nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Grande mal será para o país, pensei, se o nosso dedicado soberano se enclausurar, como um brâmane cego, dentro de sua própria dor. Deliberei, pois, inventar um jogo que o pudesse distrair e abrir em seu coração as portas de novas alegrias. É esse o desvalioso presente que desejo neste momento oferecer ao nosso rei Iadava.

Como todos os grandes príncipes citados nesta ou naquela página da História, tinha o soberano hindu o grave defeito de ser excessivamente curioso. Quando o informaram da prenda de que o moço brâmane era portador não pôde conter o desejo de vê-la e apreciá-la sem mais demora.

O que Sessa trazia ao rei Iadava consistia num grande tabuleiro quadrado dividido em sessenta e quatro quadradinhos ou casas iguais: sobre esse tabuleiro colocavam-se, não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam uma da outra pelas cores branca e preta, repetindo, porém, simetricamente os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhes permitiam movimentar-se por variados modos.

Sessa explicou pacientemente ao rei, aos vizires e aos cortesãos que rodeavam o monarca em que consistia o jogo, ensinando-lhes as regras essenciais:

- Cada um dos partidos dispõe de oito peças pequeninas - os peões. Representam a infantaria que ameaça avançar sobre o inimigo para desbaratá-lo. Secundando a ação dos peões vêm os elefantes de guerra () representados por peças maiores e mais poderosas; a cavalaria, indispensável no combate, aparece igualmente no jogo, simbolizada por duas peças que podem saltar, como dois corcéis, sobre as outras; e, para intensificar o ataque, incluem-se - para representar os guerreiros cheios de nobreza e prestígio - os dois vizires do rei. Outra peça, dotada de amplos movimentos, mais eficiente e poderosa do que as demais, representará o espírito de nacionalidade do povo e será chamada a rainha. Completa a coleção uma peça que isolada pouco vale, mas se torna muito forte quando amparada pelas outras: é o rei.

O rei Iadava, interessado pelas regras do jogo, não se cansava de interrogar o inventor:

- E por que é a rainha mais forte e mais poderosa que o próprio rei?

- Mais poderosa - argumentou Sessa - porque a rainha representa, nesse jogo, o patriotismo do povo. A maior força do trono reside principalmente na exaltação de seus súditos. Como poderia o rei resistir ao ataque dos adversários se não contasse com o espírito de abnegação e sacrifício daqueles que o cercam e zelam pela integridade da pátria?

Dentro de poucas horas o monarca, que aprendera com rapidez todas as regras do jogo, já conseguia derrotar os seus dignos vizires em partidas que se desenrolavam impecáveis sobre o tabuleiro. Sessa, de quando em quando, intervinha respeitoso, para esclarecer uma dúvida ou sugerir novo plano de ataque ou de defesa.

Em dado momento o rei fez notar, com grande surpresa, que a posição das peças, pelas combinações resultantes dos diversos lances, parecia reproduzir exatamente a batalha de Dacsina.

- Reparai - ponderou o inteligente brâmane - que para conseguirdes a vitória indispensável se torna de vossa parte o sacrifício deste vizir! - E indicou precisamente a peça que o rei Iadava no desenrolar da partida - por vários motivos, grande empenho pusera em defender e conservar.

O judicioso Sessa demonstrava desse modo que o sacrifício de um príncipe é, por vezes, imposto como uma fatalidade, para que dele resultem a paz e a liberdade de um povo.

Ao ouvir tais palavras exclamou o rei Iadava sem ocultar o entusiasmo que lhe dominava o espírito:

- Não creio que o engenho humano possa produzir maravilha comparável a este jogo interessante e instrutivo! Movendo essas tão simples peças, aprendi que um rei nada vale sem o auxílio e a dedicação constante de seus súditos. E que às vezes o sacrifício de um simples peão vale mais, para a vitória, do que a perda de uma poderosa peça.

E, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe:

- Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente, que de tanto me serviu para alívio de velhas angústias. Dize-me, pois, o que desejas para que eu possa mais uma vez demonstrar o quanto sou grato àqueles que se mostram dignos de recompensa.

As palavras com que o rei traduziu o generoso oferecimento deixaram Sessa imperturbável! A sua fisionomia serena não traia a menor agitação, a mais insignificante mostra de alegria ou surpresa. Os vizires olhavam-no atônitos e entreolhavam-se pasmados diante da apatia de uma cobiça a que se dava o direito da mais livre expansão.

- Rei poderoso! – redargüiu o jovem com doçura e altivez. - Não desejo, pelo presente que hoje vos trouxe, outra recompensa além da satisfação de ter proporcionado ao senhor de Taligana um passatempo agradável que lhe vem aligeirar as horas dantes alongadas por acabrunhante melancolia. Já estou, portanto, sobejamente aquinhoado e outra qualquer paga seria excessiva.

Sorriu desdenhosamente o bom soberano ao ouvir aquela resposta que refletia um desinteresse tão raro entre os ambiciosos hindus. E, não crendo na sinceridade das palavras de Sessa, insistiu:

- Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais, ó jovem! A modéstia, quando excessiva, é como o vento que apaga o archote, cegando o viandante nas trevas de uma noite interminável. Para que possa o homem vencer os múltiplos obstáculos que se lhe deparam na vida, precisa ter o espírito preso às raízes de uma ambição que o impulsione a um ideal qualquer. Exijo portanto que escolhas, sem mais demora, uma recompensa digna de tua valiosa oferta. Queres uma bolsa cheia de ouro? Desejas uma arca repleta de jóias? Já pensaste em possuir um palácio? Almejas a administração de uma província? Aguardo a tua resposta, por isso que à minha promessa está ligada a minha palavra!

- Recusar o vosso oferecimento depois de vossas últimas palavras - acudiu Sessa - seria menos descortesia do que desobediência ao rei. Vou, pois, aceitar pelo jogo que inventei uma recompensa que corresponde à vossa generosidade; não desejo, contudo, nem ouro, nem terras ou palácios. Peço o meu pagamento em grãos de trigo.

- Grãos de trigo? - exclamou o rei, sem ocultar o espanto que lhe causava semelhante proposta. - Como poderei pagar-te com tão insignificante moeda?

- Nada mais simples - elucidou Sessa. – Dar-me-eis um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro; dois, pela segunda; quatro, pela terceira; oito, pela quarta; e, assim dobrando sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. Peço-vos, ó rei!, de acordo com a vossa magnânima oferta, que autorizeis o pagamento em grãos de trigo, e assim como indiquei!

Não só o rei como os vizires e venerandos brâmanes presentes riram-se, estrepitosamente, ao ouvir a estranha solicitação do jovem. A desambição que ditara aquele pedido era na verdade de causar assombro a quem menos apego tivesse aos lucros materiais da vida. O moço brâmane, que bem poderia obter do rei um palácio em uma província, contentava-se com grãos de trigo!

- Insensato! - clamou o rei. - Onde foste aprender tão grande desamor à fortuna? A recompensa que me pedes é ridícula. Bem sabes que há, num punhado de trigo, número incontável de grãos. Devemos compreender, portanto, que com duas ou três medidas de trigo eu te pagarei folgadamente, consoante o teu pedido, pelas sessenta e quatro casas do tabuleiro. É certo, pois, que pretendes uma recompensa que mal chegará para distrair, durante alguns dias, a fome do último pária do meu reino. Enfim, visto que minha palavra foi dada, vou expedir ordens para que o pagamento se faça imediatamente conforme teu desejo.

Mandou o rei chamar os algebristas mais hábeis da corte e ordenou-lhes que calculassem a porção de trigo que Sessa pretendia.

Os sábios matemáticos, ao cabo de algumas horas de acurados estudos, voltaram ao salão para submeter ao rei o resultado completo de seus cálculos.

Perguntou-lhes o rei, interrompendo a partida que então jogava:

- Com quantos grãos de trigo poderei afinal desobrigar-me da promessa que fiz ao jovem Sessa?

- Rei magnânimo - declarou o mais sábio dos geômetras. - Calculamos o número de grãos de trigo que constituirá o pagamento pedido por Sessa e obtivemos um número () cuja grandeza é inconcebível para a imaginação humana. Avaliamos em seguida, com o maior rigor, a quantas ceiras corresponderia esse número total de grãos e chegamos à seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a Lahur Sessa equivale a uma montanha que, tendo por base a cidade de Taligana, seria cem vezes mais alta do que o Himalaia! A Índia inteira, semeados todos os seus campos, taladas todas as suas cidades, não produziria, num século, a quantidade de trigo que, pela vossa promessa, cabe em pleno direito ao jovem Sessa!

Como descrever aqui a surpresa e o assombro que essas palavras causaram ao rei Iadava e a seus dignos vizires? O soberano hindu via-se, pela primeira vez, diante da impossibilidade de cumprir a palavra dada.

Lahur Sessa - rezam as crônicas do tempo - como bom súdito não quis deixar aflito o seu soberano. Depois de declarar publicamente que abria mão do pedido que fizera, dirigiu-se respeitosamente ao monarca e assim falou:

- Meditai, ó Rei!, sobre a grande verdade que os brâmanes prudentes tantas vezes repetem: os homens mais avisados iludem-se, não só diante da aparência enganadora dos números, mas também com a falsa modéstia dos ambiciosos. Infeliz daquele que toma sobre os ombros o compromisso de uma dívida cuja grandeza não pode avaliar com a tábua de cálculo de sua própria argúcia. Mais avisado é o que muito pondera e pouco promete!

E após ligeira pausa acrescentou:

- Menos aprendemos com a ciência vã dos brâmanes do que com a experiência direta da vida e das suas lições de todo o dia, a toda hora desdenhadas! O homem que mais vive mais sujeito está às inquietações morais, mesmo que não as queira. Achar-se-á ora triste, ora alegre; hoje fervoroso, amanhã tíbio; já ativo, já preguiçoso; a compostura alternará com a leviandade. Só o verdadeiro sábio, instruído nas regras espirituais, se eleva acima dessas vicissitudes, paira por sobre todas essas alternativas!

Essas inesperadas e tão sábias palavras calaram fundo no espírito do rei. Esquecido da montanha de trigo que, sem querer, prometera ao jovem brâmane, nomeou-o seu primeiro vizir.

E Lahur Sessa, distraindo o rei com engenhosas partidas de xadrez e orientando-o com sábios e prudentes conselhos, prestou os mais assinalados benefícios ao povo e ao país para maior segurança do trono e maior glória de sua pátria.

*** 

Encantado ficou o califa Al-Motacém quando Beremiz concluiu a história singular do jogo de xadrez. Chamou o chefe de seus escribas e determinou que a lenda de Sessa fosse escrita em folhas especiais de algodão e conservada em valioso cofre de prata.

E a seguir o generoso soberano deliberou se entregasse ao calculista um manto de honra e 100 sequins de ouro.

A todos causou grande alegria o ato de magnanimidade do soberano de Bagdá. Os cortesãos que permaneciam no divã eram amigos do vizir Maluf e do poeta Iezid: era, pois, com simpatia que ouviam as palavras do calculista persa, por quem muito se interessavam.

Beremiz, depois de agradecer ao soberano os presentes com que acabava de ser distinguido, retirou-se do divã. O califa ia iniciar o estudo e julgamento de diversos casos, ouvir os cádis e proferir suas sábias sentenças.

Deixamos o palácio real ao cair da noite. Ia começar o mês de Chá-band.

          () “Quichátrias” - Militares - uma das quatro castas em que se divide o povo hindu. As demais são formadas pelos brâmanes (sacerdotes), vairkas (operários) e sudras (escravos).

() “Radj” - chefe militar.

() “Sudra” - Escravo.

() Esse número, com 20 algarismos, é o seguinte: 18 446 744 073 709 551 615.

() Hoje substituídos pelas torres.

("O Homem Que Calculava")

Numeros perfeitos

 

  O encontro com Tara-Tir. A beleza das aves. A aluna de Matemática 

Pouco passava da quarta hora quando deixamos a hospedaria e seguimos para a casa do poeta Iezid-Abul-Hamid, um luxuoso palácio construído em meio de atraente parque.

Beremiz ficou encantado com a feição distinta que o rico Iezid procurava dar à sua residência. Erguia-se, ao centro, uma grande cúpula prateada onde os raios solares se desfaziam em revérberos.

Um viveiro, cheio de pássaros, ornado de rosáceas e arabescos de mosaico, parecia ser a peça mais importante do jardim. Havia ali aves de cantos exóticos, de formas singulares, de plumagem rutilante; algumas de peregrina beleza pertenciam a espécies para mim desconhecidas.

Recebeu-nos o dono da casa com muita simpatia, vindo ao nosso encontro no jardim. Em sua companhia achava-se um jovem moreno, magro, de ombros largos, que não nos pareceu muito amável.

- É esse, então, o tal calculista? Admira-me a tua boa-fé, meu caro Iezid! Vais permitir que um mísero garopeiro se aproxime e dirija a palavra à nobre e encantadora Telassim? Não faltava mais nada! Por Allah! És muito ingênuo, meu caro! - E rompeu numa gargalhada de riso injurioso.

Aquela grosseria revoltou-me. Beremiz, porém, não se perturbou. Era bem possível até que o algebrista, naquele mesmo momento, descobrisse, nas palavras insultuosas que ouvira, novos elementos para fazer cálculos ou para resolver problemas.

O poeta, mostrando-se constrangido com a atitude indelicada de seu amigo, observou:

- Queira desculpar, senhor calculista, o juízo precipitado que acaba de ser feito pelo meu primo "el-hadj" Tara-Tir. Ele não o conhece, não avalia a sua capacidade matemática, e está, mais do que ninguém, preocupado com o futuro de Telassim.

- Não o conheço, é claro! Não me empenho grande coisa em conhecer os camelos que passam por Bagdá em busca de sombra e alfafa - replicou o iracundo Tara-Tir, com insultuoso desabrimento.

E falando depressa, nervoso, atropelando as palavras:

- Posso provar, em poucos minutos, meu primo, que estás completamente iludido com relação à capacidade desse aventureiro. Se mo permitisses eu o esborracharia com duas ou três banalidades que ouvi a um mestre-escola de Mossul.

- Decerto que sim - concordou Iezid. - Poderás interrogar o nosso calculista e propor-lhe, agora mesmo, o problema que quiseres.

- Problema? Para que? Queres meter em confronto o chacal que uiva e o ulemá que estuda? - atalhou o grosseirão. - Asseguro-te que não será necessário inventar problema para fazer voar a máscara ao sufi ignorante. Chegarei ao resultado que pretendo sem fatigar a memória, mais rápido do que pensas.

E, apontando para o grande viveiro, interpelou Beremiz:

- Responde-me, ó Calculista do Marreco, quantos pássaros estão naquele viveiro?

Beremiz Samir cruzou os braços e pôs-se a observar com viva atenção o viveiro indicado. Seria prova de insânia, pensei, tentar contar tantos pássaros, que volitavam irrequietos por todos os lados, substituindo-se nos poleiros com incrível ligeireza.

Ao cabo de alguns minutos o calculista voltou-se para o generoso Iezid e disse-lhe:

- Peço-vos, ó Xeque, mandeis imediatamente soltar três daqueles pássaros cativos. Será desse modo mais simples e mais agradável para mim anunciar o número total!

Aquele pedido tinha todos os visos de um disparate.

É claro que quem conta certo número contará, facilmente, esse número mais 3.

Iezid, intrigadíssimo embora, com o inesperado pedido do calculista, fez vir o encarregado do viveiro e deu prontas ordens para que a solicitação do calculista fosse atendida.

- Acham-se agora neste viveiro - declarou Beremiz - quatrocentos e noventa e seis pássaros!

- Admirável! - exclamou Iezid entusiasmado. – É isso mesmo! A minha coleção era de meio milheiro. Feito o desconto dos três que agora soltei e de um rouxinol mandado para Mossul ficam precisamente 496!

- Acertou por acaso - regougou, estuante de rancor, o terrível Tara-Tir.

O poeta Iezid, instigado pela curiosidade, perguntou a Beremiz.

- Pode dizer-me, amigo, por que preferiu contar 496, quando era tão simples contar 496+3, ou melhor, 499?

- Ó Xeque! Os matemáticos procuram, sempre, dar preferência aos números notáveis e evitar os resultados inexpressivos e vulgares. Ora, entre 499 e 496 não há que hesitar. O número 496 é um número perfeito e deve merecer a nossa preferência.

- E que vem a ser um número perfeito? - perguntou o poeta.

- Número perfeito - elucidou Beremiz - é o que apresenta a propriedade de ser igual à soma de seus divisores - excluindo-se, é claro, dentre esses, o próprio número. Assim, por exemplo, o número 28 apresenta 5 divisores, menores que 28: 1, 2, 4, 7, 14. A soma desses divisores é 28. Logo, 28 pertence à categoria dos números perfeitos.

O número 6 também é perfeito. Os divisores de 6 (menores que 6) são 1, 2 e 3, cuja soma é 6. Ao lado do 6 e do 28, pode figurar o 496, que é também, como já disse, número perfeito.

O rancoroso Tara-Tir, sem querer ouvir mais explicações, retirou-se raivoso.

- Peço-lhe, senhor Calculista - disse Iezid - que não se sinta ofendido com as palavras de meu primo Tara-Tir. Ele é de temperamento exaltado.

Compreendi que o inteligente Beremiz não queria causar constrangimento ao Xeque. E respondeu cheio de brandura e bondade:

- Dada a grande diversidade de temperamento e caracteres não nos é possível viver em paz com o próximo sem refrearmos a ira e cultivarmos a mansidão. Quando me sinto ferido pela injúria, procuro seguir o sábio preceito de Salomão:

“Quem de repente se enfurece, é estulto: Quem é prudente dissimula o insulto”.

E depois de pequena pausa acrescentou:

- Sou, não obstante, muito grato ao rico Tara-Tir, e dele não posso guardar o menor ressentimento. Basta dizer que o seu turbulento primo me ofereceu o ensejo de praticar nove atos de caridade.

Cada vez que pomos em liberdade um pássaro cativo - explicou o calculista - praticamos três atos de caridade. O primeiro para com a avezinha, restituindo-lhe a vida ampla que lhe havia sido roubada; o segundo para com a nossa consciência, e o terceiro para com Deus!

- Quer dizer, então, que se eu der liberdade a todos os pássaros do viveiro...

- Asseguro-vos que praticareis, ó Xeque, mil quatrocentos e oitenta e oito atos de elevada caridade! - atalhou prontamente Beremiz como se já soubesse de cor a resposta.

Impressionado com essas palavras o generoso Iezid determinou que fossem postas em liberdade todas as aves que se achavam no viveiro.

Os servos e escravos quedaram estarrecidos ao ouvir aquela ordem. A coleção, organizada com paciência e trabalho, valia uma fortuna. Nela figuravam perdizes, colibris, faisões multicores, gaivotas negras, patos de Madagáscar, corujas do Cáucaso, várias andorinhas raríssimas da China e da Índia.

- Soltem os pássaros! - ordenou novamente o Xeque, agitando a mão resplandecente de anéis.

As largas portas de tela metálica se abriram. Aos grupos, aos pares, os cativos deixavam a prisão e espalhavam-se pelos arvoredos do jardim.

O passaredo em revoada enchia os ares com o chilrear alegre da liberdade. Não passavam de 496, mas davam a impressão de que eram dez mil!

- Cada ave, com as asas estendidas, é um livro de duas folhas aberto no céu. Feio crime é roubar ou destruir essa miúda biblioteca de Deus.

Começamos, nesse momento, a ouvir o fraseio de uma canção; a voz era tão terna suave que se confundia com o trinado das leves andorinhas e com o arrulhar dos mansos pombos...

Falasse eu as línguas dos homens e dos anjos e não tivesse caridade.

Seria como o metal que soa ou como o sino que tine. Nada seria!... Nada seria!

Tivesse eu o dom da profecia, e toda a ciência de maneira tal

que transportasse os montes e não tivesse caridade,

Nada seria!... Nada seria!...

Distribuísse todos os meus bens para o sustento dos pobres,

E entregasse o meu corpo para ser queimado, e não tivesse caridade,

Nada seria!... Nada seria!...

O encanto daquela voz parecia envolver a terra numa onda de indefinível alegria. O dia tornara-se mais claro.

- É Telassim quem canta - explicou o Xeque ao reparar na atenção com que ouvíamos embevecidos a estranha canção.

- E de quem são esses belíssimos versos? - indaguei.

O Xeque respondeu:

- Não sei. Uma escrava cristã ensinou-os a Telassim e ela jamais os esqueceu. Devem ser de algum poeta nazareno (*).

Subimos. Ia ter início a primeira aula de Matemática.

(*) I Coríntios capítulo 13

(“O Homem Que Calculava”)

Quadrados mágicos

Como vivia o pobre calígrafo. O quadrado de números e o tabuleiro de xadrez. Quadrados mágicos. A consulta do ulemá. O rei pede a Beremiz que lhe conte a lenda do jogo de xadrez.

Nuredin não fora favorecido pela sorte ao dar desempenho à sua missão. O calígrafo que o rei queria com tanto empenho interrogar sobre o caso dos "números amigos" não se encontrava mais entre os muros de Bagdá.

Ao relatar as providências que tomara a fim de dar cumprimento a ordem do califa, assim falou o nobre muçulmano:

- Deste palácio parti acompanhado de três guardas para a mesquita de Otmã (Allah que a nobilite cada vez mais!). Informou-me um velho imã que zela pela conservação desse templo que o homem procurado residira, realmente, durante vários meses, numa casa próxima. Poucos dias antes, porém, seguira para Bássora em uma caravana de vendedores de tapetes e velas. Soube ainda que o calígrafo (cujo nome o imã ignorava) vivia só, e raras vezes deixava o pequeno e modesto aposento em que morava. Achei que devia examinar a antiga habitação do calígrafo, pois era bem provável que fosse lá encontrar alguma indicação que me facilitasse as pesquisas.

O aposento achava-se abandonado desde o dia em que fora deixado pelo seu antigo morador. Tudo ali demonstrava lamentável pobreza! Um leito grosseiro, atirado ao canto, era todo o mobiliário. Havia, entretanto, sobre uma caixa tosca de madeira, um tabuleiro de xadrez, acompanhado de algumas peças desse nobilitante jogo, e na parede um quadro cheio de números. Achei estranho que um homem paupérrimo, que arrastava uma vida tão cheia de privações, cultivasse o jogo de xadrez e adornas-se a parede de sua casa com figuras feitas de expressões matemáticas. Resolvi trazer comigo o tabuleiro e o tal quadrado numérico, para que os nossos dignos ulemás pudessem observar essas relíquias deixadas pelo velho calígrafo.

O sultão tomado, entretanto, de viva curiosidade pelo caso, mandou que Beremiz examinasse com a devida atenção o tabuleiro e a figura que mais parecia trabalho de um discípulo de Al-Karismi do que enfeite para quarto de pobre.

Depois de ter observado com meticuloso cuidado o tabuleiro e o quadro, disse o Homem Que Calculava:

- Esta interessante figura numérica, encontrada no quarto abandonado pelo calígrafo, constitui o que chamamos um "quadrado mágico".

- Tomemos um quadrado e dividamo-lo em 4, 9 ou 16 quadrados iguais a que chamaremos casas.

Em cada uma dessas casas coloquemos um número inteiro. A figura obtida será um quadrado mágico quando a soma dos números que figuram numa coluna, numa linha ou em qualquer das diagonais, for sempre a mesma. Esse resultado invariável é denominado constante do quadrado e o número de casas de uma linha é o módulo do quadrado.

Os números que ocupam as diferentes casas do quadrado mágico devem ser todos diferentes e tomados na ordem natural.

É obscura a origem dos quadrados mágicos. Acredita-se que a construção dessas figuras constituía já, em época remota, um passatempo que prendia a atenção de grande número de curiosos.

Como os antigos atribuíam a certos números propriedades cabalísticas, era muito natural vissem virtudes mágicas nos arranjos especiais desses números.

Os matemáticos chineses, que viveram 45 séculos antes de Mafoma, já conheciam os quadrados mágicos.

O quadrado mágico com 4 casas não pode ser construído.

Na índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iêmen afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste.

Quando um quadrado mágico apresenta certa propriedade, como, por exemplo, a de ser decomponível em vários quadrados mágicos, leva o nome de hipermágico.

Entre os quadrados hipermágicos podemos citar os diabólicos. Assim se denominam os quadrados que continuam mágicos quando transportamos uma coluna ou uma linha de um lado para o outro.

As indicações dadas por Beremiz sobre os quadrados mágicos foram ouvidas com a maior atenção pelo rei e pelos nobres muçulmanos.

Um dos ulemás depois de dirigir palavras elogiosas ao "eminente Beremiz Samir, do país do Irã", declarou que desejava fazer uma consulta ao sábio calculista.

A consulta era a seguinte:

- Haverá um método especial empregado para a pesquisa em Matemática ou serão os grandes princípios e leis admiráveis dessa ciência descobertos por acaso?

A resposta a essa delicada consulta Beremiz formulou-a nos seguintes termos:

- Não existe, nem pode existir, método geral que conduza as pesquisas, mas o acaso tem aí papel muito restrito. A descoberta é sempre fruto de longa reflexão em direção determinada de um esforço consciente. O fato, realmente, mais interessante, entre os que então se observam é, talvez, o aparecimento repentino da solução longamente procurada, por vezes, quando o pesquisador já há muito tempo abandonou o assunto. Tudo faz crer que essa verdadeira iluminação mental resulta de um trabalho subconsciente, que representaria papel capital na invenção.

A seguir, o brilhante calculista tomou do tabuleiro de xadrez e disse:

- Este velho tabuleiro, dividido em 64 casas pretas e brancas, é empregado, como sabeis, no interessante jogo que um hindu, chamado Lahur Sessa, inventou há muitos séculos para recrear um rei da Índia. A descoberta do jogo de xadrez acha-se ligada a uma lenda que envolve cálculos e números.

- Deve ser interessante ouvi-la! - atalhou o califa.

- Escuto e obedeço! - respondeu Beremiz.

E narrou a seguinte história:

Atenção: Para saber sobre a descoberta do jogo de xadrez, acesse clicando em “O jogo de xadrez”, presente neste site desde 25/09/2004.

(“O Homem Que Calculava”)

A matemática no xadrez

Estudos matemáticos

O Tour do Cavalo é um problema matemático complexo que foi solucionado por meio dos estudos realizados por importantes matemáticos, tais comoEuler, Abraham de Moivre eVandermonde.

O xadrez também se mostra muito interessante do ponto de vista matemático. Diversos problemas de natureza combinatória e topológicaligados ao enxadrismo são conhecidos e foram estudados nas últimas centenas de anos. Em 1913, Ernst Zermelo utilizou estes estudos como a base de sua Teoria dos Jogos Estratégicos, que é considerada como uma das predecessoras da Teoria dos Jogos.

O desafio mais importante da matemática ligada ao enxadrismo foi o desenvolvimento de algoritmos que possibilitassem que uma máquinapudesse jogar xadrez. A ideia de criar tal máquina data do século XVIII. Por volta do ano de 1769, o autômato enxadrista conhecido como O Turco tornou-se famoso na Europa. Neste caso, o Turco era apenas uma fraude engenhosa e suas pretensas habilidades como exímio enxadrista eram proporcionadas por um anão, que escondido dentro de suas engrenagens, operava o braço mecânico do autômato com perfeição.

Estima-se que o número de posições legais de peças sobre o tabuleiro de xadrez está situado entre as potências de 10⁴³ e 10⁵⁰ com uma árvore de complexidade de aproximadamente 10¹²³. A árvore de complexidade do xadrez foi determinada pela primeira vez pelo matemático norte-americano Claude Shannon, uma grandeza hoje conhecida como o Número de Shannon.^[74] É possível se ter uma ideia aproximada do escopo deste número sabendo-se que, como comparação, o número de átomos no Universo é estimado em 10⁷⁹, ou seja, o número de lances possíveis excede em muito o número de átomos presentes no universo conhecido. Outros cálculos indicam que há 170 setilhões (1,7 × 10²⁵) de maneiras de se fazer os dez primeiros movimentos numa partida de xadrez.

Shannon publicou em 1949 um artigo intitulado Programming a Computer for Playing Chess^[75] e no ano seguinte chegou a construir uma máquina para jogar finais simples de partidas.

Leis do Xadrez

[editar]Regras

Ver artigo principal: Regras do xadrez

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Um diagrama de xadrez mostrando todas as peças e peões em suas casas iniciais.

Durante uma partida de xadrez, cada enxadrista controla dezesseis peças que podem ser de cor clara ou escura (normalmente brancas e negras), sendo que as brancas devem sempre fazer o primeiro lance. São necessários um tabuleiro com oito fileiras e oito colunas composto por sessenta e quatro casas (sendo metade claras e metade escuras, alternadamente) e um relógio de xadrez que é opcional para disputas não oficiais. Para que o tabuleiro fique corretamente posicionado antes de cada partida, cada enxadrista deve ter um quadrado claro à sua direita.

No transcorrer da partida, quando o rei de um enxadrista é diretamente atacado por uma peça inimiga, é dito que o rei está em xeque. Nesta posição, o enxadrista tem que mover o rei para fora de perigo, capturar a peça adversária que está efetuando o xeque ou bloquear o ataque com uma de suas próprias peças, sendo que esta última opção não é possível se a peça atacante for um cavalo, pois tal peça pode saltar sobre as peças adversárias. O objetivo do jogo é dar xeque-mate ao adversário, o que ocorre quando o rei oponente se encontra em xeque e nenhum lance de fuga, defesa ou ataque pode ser realizado para anular o xeque. Neste caso, ou a peça é capturada (ou tomada) pelo adversário ou o concorrente perdedor tomba o rei, como sinal de desistência. Não existe a obrigatoriedade de o concorrente dizer, em caso de xeque, Xeque, e em caso de xeque-mate, Xeque-mate, ou simplesmente Mate, conforme verificado no artigo "Regras do Xadrez".

O enxadrista ainda dispõe de três lances especiais: o roque que encastela o rei, protegendo-o de ataques inimigos; a captura en passant, quando um peão avançado toma um outro peão oponente que apenas passou pelo primeiro com o seu lance inicial de duas casas; e apromoção, obrigatória ao peão que, ao alcançar a oitava fileira, deve ser promovido a cavalo, bispo, torre ou dama, de mesma cor.

[editar]Peças de xadrez

Ver artigo principal: Peças de xadrez

Peças de xadrez, da esquerda para a direita: Rei branco, Torre e Dama negras,Peão branco, Cavalo negro e Bispobranco.

Cada um dos enxadristas dispõem de dezesseis peças: oito peões, dois cavalos, dois bispos, duas torres, um rei e uma dama, sendo que cada tipo de peça possui um movimento característico:

Quando uma peça pode ser movida para uma casa em que está localizada uma peça adversária, esta última pode ser capturada. Assim, a peça a ser jogada move-se para a casa da peça oponente, que é então retirada do tabuleiro. O rei é a única peça que nunca pode ser capturada, uma vez que a partida termina quando ocorre o xeque-mate, ou seja, a iminência da captura do rei.^[87]

[editar]Movimentos das peças

Cada tipo de peça tem um valor e um movimento diferente. Os movimentos de cada peça são:

• Rei: move-se para todas as direções pela vertical, horizontal ou diagonal, mas apenas uma casa por lance.
• Dama ou Rainha: é a peça mais poderosa do jogo, uma vez que seu movimento combina o da torre e o do bispo, ou seja, pode mover-se pelas colunas, fileiras e diagonal. Em termos de valor, não é comparável a nenhuma outra peça, a não ser a dama adversária.
• Bispo: move-se pela diagonal, sendo que nunca poderá mudar a cor das casas em que se encontra, uma vez que movendo-se em diagonal, não lhe é permitido passar para uma diagonal de outra cor. O valor do bispo é considerado ligeiramente superior ao do cavalo, todavia, dependendo da posição no tabuleiro, nem sempre será vantajoso trocá-lo por um cavalo oponente.
• Cavalo: movimenta-se sempre em "L",ou seja,duas casas para frente e uma para a esquerda ou direita. O cavalo é a única peça que pode pular sobre as outras, tanto as suas quanto as adversárias, como indo, por exemplo, desde a casa g1 para a casa f3 nos primeiro lances. Comumente se diz que o cavalo move-se "uma casa como torre e uma casa como bispo".
• Torre: movimenta-se em direção reta pelas colunas ou fileiras. A torre é considerada uma peça forte, tendo mais valor que bispo e cavalo.
• Peão: movimenta-se apenas uma casa para frente e captura outros peões e peças em diagonal. Caso uma peça ou peão fique na frente do peão, será impossível movê-lo. Somente se alguma peça adversária fique na sua diagonal acima, ele poderá capturá-la e mudar de coluna. No primeiro movimento de qualquer peão, ele poderá mover-se uma ou duas casas, a critério do enxadrista. Ao contrário das outras peças, o peão não pode mover-se para trás.

[editar]Notação enxadrística

Ver artigo principal: Notações de xadrez

O sistema de notação de partidas oficial e adotado pela FIDE é o sistema de notação algébrica abreviada. Anteriormente também era utilizado o sistema de notação descritiva que caiu em desuso. No sistema descritivo os lances simétricos têm a mesma notação, o que freqüentemente causava erros de notação durante os torneios enxadrísticos. A FIDE recomenda ainda que em livros e revistas sobre enxadrismo seja adotado o sistema de notação algébrica figurativa, no qual cada peça é representada por um ícone, o que possibilita o entendimento universal do transcorrer das partidas.

Sistema Algébrico

Sistema Algébrico é o método utilizado para identificar as casas no tabuleiro e registrar partidas.

A casa g5 identificada no tabuleiro de xadrez por meio do sistema algébrico.

Como é visto nos diagramas ao lado, divide-se o tabuleiro em oito linhas horizontais numeradas de 1 a 8, a começar do lado em que estiver o jogador que conduz as peças brancas, e em 8 colunas verticais identificadas pelas letras a a h (sempre minúsculas!), a começar da esquerda e indo para a direita do jogador de Brancas. Cada uma das peças é indicada pela inicial maiúscula (para não confundir com as letras indicativas de colunas) de seu próprio nome, deste modo: Cavalo, Bispo, Torre, Dama e Rei. Os peões não precisam ser indicados. Indica-se a jogada da seguinte maneira: primeiramente escreve-se a letra que representa a peça jogada, depois a coordenada da casa na qual ela foi colocada, coluna e linha, nesta ordem.^[88]

Sistema Descritivo

A notação descritiva dá a cada casa um nome e as peças recebem o nome de suas iniciais, incluindo o peão. É importante dizer que nessa notação o tabuleiro é dividido em duas partes ou "alas": uma do rei e outra da dama. As fileiras são numeradas a partir de cada jogador. Difere da notação algébrica porque nesta existia uma única ordem numérica (a partir das brancas). O nome da coluna e o número da fila indicam a casa para a qual a peça se moveu, sendo o lance das brancas designado numericamente do lado das brancas e o das pretas, da mesma forma, como já foi explicado anteriormente.^[89]

A grande diferença entre a notação algébrica e a descritiva é que algébrica, cada casa tem seu nome, e isso nunca muda, entretanto, na descritiva, para as brancas a casa tem um nome e para as negras ela tem outro. Outra diferença é que na notação descritiva só se escreve com letra maiúscula, ao contrário da notação algébrica.

Símbolos especiais

Os principais sinais especiais utilizados para a notação das partidas^[90] são os seguintes, conforme tabela abaixo:

Símbolo	Significado	Exemplo	Comentários
# ou ++	Mate	Dg7# ou Dg7++	Dama dá mate ao rei ao ser movida para a casa g7.
+	Xeque	Te1+	Torre dá xeque ao rei ao ser movida para a casa e1.
x	Captura	BxC	Bispo toma cavalo.
e.p.	Captura en passant	exd e.p.	Peão da coluna e toma peão da coluna d pela regra do en passant.
0-0	Pequeno Roque	–	Roque efetuado na ala do rei.
0-0-0	Grande Roque	–	Roque efetuado na ala da dama.
=	Promoção	e8=D	Peão da coluna e alcança a oitava fileira e é promovido à dama.

Há também uma outra classe de símbolos utilizados para comentar as partidas,^[91]

conforme tabela abaixo:

Planilha de Notação, onde se encontra anotada uma partida entre Réti e Capablanca, por meio do sistema algébrico (Nova Iorque, 1924).

Símbolo	Significado
!	Bom lance.
!!	Lance brilhante.
?	Mau lance.
??	Lance péssimo.
!?	Lance interessante.
?!	Lance duvidoso.
±	Vantagem branca.
+/=	Ligeira vantagem branca.
+–	Vantagem decisiva branca.
∓	Vantagem negra.
=/+	Ligeira vantagem negra.
–+	Vantagem decisiva negra.
∞	Posição incerta.

obs:de acordo com a nova lei do xadrez-2009 que entrou em vigor dia 1º de Julho desse mesmo ano, é facultativo, a anotação na planilha, de:xeque, xeque-mate ou captura de peça.

[editar]Modalidades

• Presencial: forma tradicional, na qual os enxadristas presentes fisicamente, face a face;
• Virtual: os enxadristas disputam as partidas por meio de computadores conectados pela Internet ou uma rede local;
• Rápido, relâmpago e blitz: variação simples da forma tradicional, onde o tempo para jogar é muito reduzido;
• Simultânea: um enxadrista enfrenta ao mesmo tempo vários adversários;
• Às cegas: um jogador não tem visão do tabuleiro (ou utiliza uma venda nos olhos, ou fica de costas para o tabuleiro, ou fica em sala separada); necessita guardar as posições de memória;
• Postal: aqui os lances são enviados por correspondência (normalmente por cartão postal); o enxadrista recebe o lance do seu adversário, reproduz no tabuleiro, faz o seu lance e o envia pelos correios; o adversário faz a mesma coisa e envia a carta, até a partida ser concluída; essa modalidade está caindo em desuso, sendo substituída por e-mail; para o xadrez por correspondência existem federações nacionais e internacionais que organizam essa modalidade, reconhecidas pela FIDE.
• Problemas: um problema de xadrez é normalmente na forma de uma posição de tabuleiro a partir da qual o enxadrista deve buscar a vitória (mate) ou uma posição claramente vencedora; problemas de xadrez são comuns em colunas especializadas de jornais; o tipo de problema mais comum é o mate em 2, onde as brancas devem dar mate em dois lances, normalmente usando uma combinação com apelo estético.

[editar]Variantes

Ver artigo principal: Variantes do xadrez

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Posição nº 177, uma das 960 posições iniciais possíveis do Xadrez de Fischer.

Existem muitas variantes das regras de xadrez. Os tipos mais aceitos alteram apenas as regras de tempo de uma partida, porém existem muitas variantes criadas com a finalidade de divertir ou de aumentar as possibilidades do jogo, como o Xadrez de Capablanca e Xadrez de Fischer (ou Xadrez Aleatório de Fischer). Algumas variedades propõem até mesmo a adoção de tabuleiros diferenciados, como o caso doXadrez Rex e do Xadrez Hexagonal.

Uma das variantes mais populares na atualidade, o Xadrez de Fischer foi criado pelo ex-campeão mundial Robert Fischer e apresentado ao grande público oficialmente em 19 de junho de 1996 na cidade de Buenos Aires. No Xadrez de Fischer, a posição inicial das peças é aleatória, o que torna inútil a memorização por parte dos enxadristas de movimentos iniciais de abertura. Segundo Robert Fischer, essa característica de sua variante é muito importante para o desenvolvimento da criatividade e do talentos dos praticantes do enxadrismo.^[92]

As variantes podem ser divididas em:

• Antecessoras diretas do xadrez, tais como o Chaturanga;
• Variantes tradicionais de caráter regional ou nacional, tais como o Xiangqi, Shogi, Janggi e o Makruk, que compartilham as mesmas origens do Xadrez Ocidental;
• Modernas variantes do xadrez, tais como o Xadrez de Fischer, de Capablanca ou o Xadrez Rex, dentre outras.

• 

  Um tabuleiro de Xadrez Circular, uma das inúmeras variantes do Xadrez Tradicional.
 
• 

  Xadrez Cilíndrico, uma outra variante do Xadrez Clássico (tabuleirocilíndrico criado por Emanuela Ughi, Universidade de Perúgia).
 
• 

  Xadrez Toroidal (tabuleiro no formato de toróide, por Emanuela Ughi, Universidade de Perúgia).
 
• 

  Xadrez Hexagonal é uma variante com tabuleirohexagonal criado por Glinski.

[editar]Fases da partida

Em razão dos diferentes padrões de estratégia e tática, uma partida de xadrez é normalmente dividida em três fases distintas: a abertura, usualmente os vinte cinco primeiros lances, quando os enxadristas desenvolvem os seus exércitos e definem o início dos combates; o meio-jogo, a fase de maior desenvolvimento das peças; o final, onde a maioria das peças, de ambos os lados, já foram capturadas e os reis iniciam uma participação ativa no jogo.

[editar]Abertura

Ver artigo principal: Abertura (xadrez)

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Abertura Réti, um dos principais sistemas de abertura hipermodernos, criado por Réti.

A abertura é a fase da partida que contém o grupo de movimentos iniciais das brancas e das negras. Sequências consagradas de movimentos iniciais das brancas são denominadas também de "aberturas" e, quando efetuadas/repetidas pelas negras, são denominadas de "defesas" e são comumente conhecidas por nomes de enxadristas, algumas vezes é nomeada pelo enxadrista que popularizou ou publicou uma análise sobre ela, tais como Abertura Réti^[93] ou Defesa Câmara,^[94] sendo também catalogadas em obras de referência como a Encyclopaedia of Chess Openings.

Existem centenas de diferentes aberturas e defesas, variando em características, desde o jogo posicional até lances bastante agressivos. Os enxadristas profissionais necessitam de anos de prática e estudo para domina-las completamente e continuam aprimorando esse conhecimento durante toda a carreira, uma vez que a teoria enxadrística sempre está evoluindo com o acréscimo constante de novidades teóricas.^[95]

Os objetivos estratégicos fundamentais da maioria das aberturas e defesas são bastante similiares:^[96]

• Desenvolvimento: posicionar as peças (em particular bispos e cavalos) em casas-chave, onde possam exercer grande impacto no decorre da partida;
• Controle do centro: controlar as casas centrais permite que as peças sejam movidas para qualquer parte do tabuleiro;
• Segurança do rei: conseguida normalmente via roque (também chamado de encastelamento do rei);
• Estrutura de peões: enxadristas experientes evitam a criação de fraquezas na estrutura de peões, tais como peões dobrados, isolados, atrasados ou presos.

[editar]Meio-jogo

A Partida Imortal, disputada pelo célebre enxadrista Adolf Anderssen e Lionel Kieseritzky em 1851 e repleta de belíssimas combinações envolvendo sacrifícios.

Ver artigo principal: Meio-jogo

O meio-jogo é a fase da partida onde as peças em sua maioria já alcançaram o seu maior desenvolvimento, dependendo, todavia, em como foi conduzida a abertura ou defesa escolhida por cada enxadrista. Por esta razão, o estudo da teoria das aberturas e defesas deve estar em harmonia com a preparação de planos estratégicos que resultam em um meio-jogo esperado.^[97]

O meio-jogo também é a fase na qual a maioria das combinações pode acontecer. Combinações de meio-jogo estão frequentemente conectadas com o ataque ao rei oponente;^[98] alguns padrões típicos possuem seus próprios nomes, por exemplo, Mate de Boden ou Combinação Lasker-Bauer.

Outra importante questão do meio-jogo é quando e como reduzir o material disponível e entrar na fase final da partida (esta redução de material é denominada de simplificação). Por exemplo, pequenas vantagens materiais podem ser transformadas em vitória somente em um final de jogo bem conduzido e para isso, o lado com a pequena vantagem deve procurar um meio para efetuar a simplificação e obter um final favorável. Entretanto, nem todas as reduções de material são adequadas para este propósito, por exemplo, se um dos lados possui um bispo de casas claras e o oponente possui um de casas escuras, a simplificação para um final de bispos e peões é geralmente vantajosa para o lado mais fraco, uma vez que finais de bispos de cores opostas normalmente terminam em empate, mesmo com a vantagem de um ou dois peões.

[editar]Final

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O final da partida disputada entre o físicoAlbert Einstein e Robert Oppenheimer, o pai da Bomba Atômica. Oppenheimer desiste da partida após o lance seguinteBxe7 feito por Einstein (Princeton, 1933).

Ver artigo principal: Final

O final da partida é a fase onde somente há algumas poucas peças e peões no tabuleiro. Existem três diferenças principais de estratégia entre os estágios iniciais da partida e nos finais:^[99]

• Durante o final, os peões se tornam mais importantes; os finais frequentemente transcorrem em torno da busca pela promoção de um peão à dama assim que a oitava fileira é alcançada;
• O rei, que foi protegido durante todo o meio-jogo, agora torna-se uma forte peça e deve ser logo trazido ao centro do tabuleiro, onde poderá proteger seus próprios peões, atacar peões inimigos e limitar os movimentos do rei oponente por meio da oposição;
• Zugzwang, uma desvantagem causada pela obrigação de efetuar um lance,^[100] é normalmente um fator importante nos finais e raramente nas outras duas fases de uma partida.

Os finais podem ser classificados de acordo com o tipo de peças que restam no tabuleiro. Mates básicos ocorrem em posições no qual um dos lados tem somente o rei e o outro lado tem somente uma ou duas peças e o mate é possível com o apoio do rei à peça; já finais de rei e peão ocorrem quando há somente rei e alguns peões em um ou nos dois lados e aqui o objetivo é promover um dos peões para entrar numa posição de mate básico; outros finais complexos envolvem outras peças como damas e/ou torres.^[101]

[editar]Estratégias e táticas

A estratégia enxadrística consiste em definir e atingir objetivos de longo prazo durante uma partida – por exemplo, onde posicionar diferentes peças – enquanto a tática se concentra em manobras imediatas no tabuleiro. Estas duas partes do pensamento enxadrístico não podem ser completamente separadas, uma vez que objetivos estratégicos são atingidos principalmente por meio de táticas, enquanto a razão de ser das táticas é baseada em uma prévia estratégia de jogo.

Napoleão Bonaparte, considerado um dos maiores estrategistas militares de todos os tempos, era um entusiasta da prática enxadrística, tendo inclusive disputado uma partida contra o autômatoTurco.^[102]

[editar]Fundamentos da estratégia

A estratégia enxadrística está voltada para a avaliação de posições no tabuleiro e com o estabelecimento de metas a serem atingidas. Durante a avaliação, os enxadristas devem levar em conta o valor das peças, a estrutura de peões, a segurança do rei, domínio espacial e o controle de casas-chave ou grupo de casas (como, por exemplo, colunas e diagonais abertas, casas brancas ou negras).

A avaliação mais básica é a contagem do valor total de peças de ambos os lados. Os valores de cada peça são normalmente estimados em: um ponto para os peões, três pontos para os cavalos e os bispos, as torres com cinco pontos e a dama com nove pontos. Nos finais, o rei é geralmente mais poderoso que uma peça menor (cavalo ou bispo), todavia, menos forte que uma torre, então o seu valor de combate às vezes é estimado em quatro pontos. Outros autores afirmam que, na verdade, o rei tem valor absoluto, uma vez que perdendo se ele, perde-se a partida. Estes valores básicos podem ser facilmente alterados por outros fatores, tais como posição das peças (por exemplo, um peão avançado vale muito mais que um peão em sua posição inicial), coordenação entre peças (por exemplo, um par de bispos podem ser muito mais facilmente coordenados que um bispo e um cavalo – por este motivo alguns autores consideram os bispos como valendo três pontos e meio), ou tipo de posição (geralmente cavalos são melhores em posições fechadas e bispos em posições abertas).

Outro importante fator na avaliação de posição em uma partida é a estrutura de peões. A estrutura de peões é relativamente estática e sua conformação deve estar de acordo com a orientação estratégica que um enxadrista está seguindo no transcorrer de um jogo. Fraquezas nesta estrutura, tais como peões dobrados, isolados ou atrasados são, na maioria das vezes, de natureza permanente e devem ser sempre evitadas.

[editar]Fundamentos da tática

Ver artigo principal: Tática

Partida de xadrez ao vivo, onde as peças e peões são representados por atores, na cidade de Monselice, Itália(2004).

No enxadrismo, táticas em geral se concentram em ações de curto prazo^[103] e podem ser calculadas precisamente por um enxadrista ou um programa de computador. O alcance do cálculo vai depender das habilidades do enxadrista ou da velocidade domicroprocessador. Em posições normais com muitas possibilidades de respostas a lances para ambos os lados, um cálculo preciso não é possível, enquanto que em uma posição tática com um limitado número de variantes forçadas, é possível calcular uma longa sequência de lances.

Ações táticas simples de um ou dois movimentos – ameaças, trocas de material, ataque duplos, dentre outros – podem ser combinadas em variantes mais complicadas, denominadas manobras táticas, que freqüentemente forçam um dos oponentes a seguir uma determinada linha de jogo desvantajosa. Teóricos descreveram diversos métodos táticos elementares e manobras típicas, tais como sacrifícios, cravaduras, garfos, ataques descobertos simples e duplos (especialmente xeques descobertos), desvios, interceptações e lances intermediários.^[104]

Uma variante forçada que é conectada com um sacrifício que resultará em uma vantagem tangível é denominadacombinação.^[105] Combinações brilhantes – tais como aquelas na presente na Partida Imortal – são descritas como belíssimas pelos especialistas e admiradas pelos amantes do xadrez. A habilidade de encontrar uma combinação em uma dada posição é também muito comum nos problemas de xadrez e muito desejada nos enxadristas que desejam ampliar o seu nível de jogo.

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