Números babilônicos - História da Matemática na Babilônia

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2.2.1 Babilônia

A Babilônia era uma das cidades da Mesopotâmia, região a sul da Ásia entre o rio Tigre e o Eufrates, no atual Iraque e terras circundantes.
Há cerca de 10 000 anos, o povo desta região começou a domesticar animais e plantas, e a viver da agricultura e da pastorícia. Viviam em casas feitas de canas e tijolos de lama, construíram celeiros onde guardavam os seus cereais e desenvolveram um sistema simbólico, pequenos objeto em argila, com diferentes formas geométricas, para fazerem o registro do seu comércio e dos seus bens.
Por exemplo, um cilindro de argila podia representar um animal, duas esferas dois bushel (medida de capacidade) de cereal.
Entre 3500 e 3300 a.C. deu-se um grande desenvolvimento dos povos do sul da Mesopotâmia, em especial os da cidade de Ur e Uruk. Nesse período o comércio entre as populações intensificou-se e os sistemas de registro complexificou-se, começaram a aparecer objetos com formas mais diversificadas e com riscos e buracos.
Sistema simbólico de pequenos objetos de argila, com diferentes formas geométricas, para fazerem os registros dos seus comércios e de seus bens.

Por volta de 3000 a.C. a região central e sul da Mesopotâmia viu o desenvolvimento dos Sumérios. Os Sumérios possuíam uma civilização avançada, com uma organização social e econômica complexa, estruturas políticas e religiosas, e complexo sistema de rega, direcionando a água dos rios para as terras. Uma vez que os recursos naturais eram escassos as trocas comerciais com os povos vizinhos eram importantes, havendo igualmente a necessidade de controlo administrativo.
Os antigos sistemas de registros foram-se desenvolvendo num complexo sistema numérico, o qual permitia registrar grandes quantidades de bens. Este sistema de escrita evoluiu na escrita cuneiforme (em forma de cunha) e um sistema de contagem para um sistema sexagesimal. Os registros escritos eram feitos em pequenas placas de argila, com estiletes de metal, osso ou marfim, que depois colocavam a secar ao sol.
Durante cerca de um século entre 2100 a.C. e 2004 a.C., os Sumérios viveram um período de grande prosperidade, tendo-se consolidado o sistema jurídico, revisto o calendário, o sistema meteorológico foi simplificado e foram construídos templos.
Os Acadianos, povos de origem semita, ocuparam a região central da Mesopotâmia, por volta de 2300 a.C., acabando por dominar os Sumérios. A língua suméria desapareceu quase por completo e foi substituída pelo acadiano.
O Império Acadiano desapareceu devido a diversas invasões estrangeiras, como as dos Amorritas. A Babilônia tornou-se o centro da dinastia Amorrita (2100 a.C. a 1600 a.C.). Passando a ser a capital de toda a região mesopotâmica na altura do rei Hamurabi (1792 a 1750 a.C.) que conseguiu unificar toda a região desde a Assíria, a norte, a Caldeia, a sul.
Os Amorritas adotaram o mesmo tipo de escrita em tábuas de argila.
Deste período existem centenas de tábuas com registros de matemática e economia.
Existem tábuas de multiplicações, de quadrados, de raízes quadradas, de recíprocos e constantes.
Mas, também, tábuas contendo listas de problemas, aparentemente, para o professor dar aos seus alunos e pequenas tábuas (do tamanho da palma da mão) que parecem ser a solução de problemas registrados pelos alunos.
Após a morte de Hamurabi império entrou em decadência devido às invasões de outros povos como os Hititas (1650 a 1200 a.C.), levando ao ressurgimento de vários reinos menores e à ascensão dos Assírios que controlavam a parte norte da Mesopotâmia, desde 1350 a.C. Estes conquistaram uma vasta região que se estendia desde o golfo Pérsico à Ásia Menor e do Tigre até o Egipto.
Com os Assírios deu-se o desenvolvimento da astronomia, foram produzidas tabelas que permitiam predizer fenómenos astronómicos.

2.2.2 Sistema de numeração mesopotâmico

Os babilônios (sumérios) usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal, mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60).
Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:

No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo:

O símbolo para 100 era composto por traços: 

Números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

O símbolo  indica 10 vezes 100, isto é, 1000.

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo:

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo:

Este poderia representar o número: 

O rei assírio Assurbanipal (668 a 631 a.C.), criou uma biblioteca no seu palácio da capital da Assíria, Nínive. A biblioteca continha mais de 10 000 tábuas de argila.
Vinte anos após a morte do rei Assurbanipal a Mesopotâmia foi conquistada pelos Persas que governaram até que Alexandre, o grande, derrotou os Persas por volta de 330 a.C. Com esta derrota uma nova dinastia de reis (Seleucia) controlou a Mesopotâmia até 69 a.C. Também nesta altura se dá um ressurgimento da astronomia.
2.2.3 Antiguidade matemática mesopotâmica representada em problemas do dia-diaMuitas tábuas escritas em cuneiforme (antigas escritas (dos Assírios, persas e medos) cujos caracteres tem a forma de cunha) encontram-se em diversos museus, a sua designação depende da coleção a que pertencem. Tabuas e coleções:

AO - Antiquités Orientale - Louvre
BM - Museu Britânico
VAT - Vorderasiatische Abteilung Tontafeln - Museu de Berlim
YBC - Yale Babylonian Collection - Universidade de Yale

Muitos dos problemas contidos nas tábuas babilônicas revelam-nos o dia a dia da população, neles encontramos problemas sobre diversos:

Assunto	Tabuas	Conteúdo.
Tijolos necessários para construir paredes.	AO 10822, VAT 6598,YBC 4669.	Volumes.
Construção de canais, diques e escavações.	YBC 4662.	Irrigação de campos.
Terrenos e quantidade de cereal produzido num terreno	AO 17624, VAT 8389.	Áreas, propriedades de triângulos.
Medidas de sólidos cilíndricos.	YB 8600.	Perímetro do círculo.
Portas e canas encostadas a uma parede.	BM 34568, VAT 6598.	Teorema de Pitágoras
Peso original de uma pedra.	YBC 4652.	Equações do 1º grau
Empréstimos.	AO 6770, VAT 8528,YBC 4669, YBC 4698.	Proporções.
Carregar material.	BM 85196, YBC 4669.	Proporções.

Existem cerca de 180 tábuas que incluem problemas. Muitas outras, além das referidas, incluem problemas práticos que dizem respeito, a trabalhos em construções de defesa, preços de bens e comércio, heranças e divisões de propriedades etc. Cerca de metade dos problemas contidos nas tábuas são puramente aritméticos (ou algébricos) e geométricos, e dizem respeito, normalmente a problemas sobre a área de quadrados, triângulos, retângulos, círculos, conduzindo, muitas vezes à resolução daquilo que nós consideramos hoje em dia como sendo equações do 2º grau.