UNG - UNIVERSIDADE GUARULHOS
CENTRO DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO.
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
LENICE MASSARIN FIGUEIREDO
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM SALA DE AULA.
Orientador: Prof. Ms. Valdir Rodrigues.
Guarulhos – SP
2006
Figueiredo, Lenice Massarin
A utilização da História da Matemática em sala de aula / Lenice
Massarin Figueiredo – Guarulhos/SP: 2006.
Monografia para conclusão de curso de Pós Graduação em
Educação Matemática, CEPPE - Universidade de Guarulhos.
Orientador: Prof. Ms. Valdir Rodrigues.
Palavras Chaves: 1. Educação Matemática, 2. História,
3. Aprendizagem.
UNG - UNIVERSIDADE GUARULHOS
CENTRO DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO.
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
LENICE MASSARIN FIGUEIREDO
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM SALA DE AULA.
Monografia de Conclusão de Curso apresentada à Universidade Guarulhos, como requisito para obtenção do certificado de especialização em Educação Matemática.
Orientador: Prof. Ms. Valdir Rodrigues.
Guarulhos – SP
2006
LENICE MASSARIN FIGUEIREDO
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM SALA DE AULA.
BANCA EXAMINADORA
Conceito __________________________
Guarulhos ____/ ____/ ____
DEDICATÓRIAS
Dedico este trabalho aos meus filhos, Janine e Tales, que tiveram paciência de ficar horas e horas a fio sem a minha presença e, em especial, ao meu esposo que me incentivou e colaborou para que esse trabalho fosse escrito da melhor maneira possível;
Agradeço a Deus pela saúde e sabedoria que tem me proporcionado;
Agradeço a minha mãe que nos soube educar, mesmo com todas as dificuldades e tristezas que passamos, e agora está no céu ao lado de Deus olhando por nós;
Ao meu orientador, Prof. Ms. Valdir Rodrigues, que permitiu ampliar meus horizontes, e mostrou como é possível realizar um sonho;
Agradeço aos professores, Ms. Antônio Sylvio Vieira de Oliveira e Dra. Dumara Coutinho Tokunaga Sameshima que sempre trouxeram esperança e palavras confortantes para que eu persistisse nesse caminho;
A Profa. Márcia Firmo da EE Vereador Antonio de Ré, por sua colaboração.
“Na construção da realidade, o todo é muito mais do que a soma das partes (...) Se pretendemos compreender um fenômeno, não podemos fazer isso a partir de (...) um único ponto de vista”.
(Hernández, Fernando. 1995)
SUMÁRIO
RESUMO .................................................................................................................... I
ABSTRACT ................................................................................................................ II
OBJETIVOS .............................................................................................................. III
METODOLOGIA ....................................................................................................... IV
MEMORIAL .............................................................................................................. 13
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 15
CAPÍTULO 1 – A História da Matemática na Educação Matemática.
1.1. - Considerações iniciais ................................................................ 18
1.2. - A História da Matemática no Brasil ............................................. 22
1.3. - O porquê da História da Matemática em sala de aula ................ 23
CAPÍTULO 2 – Os aspectos da legislação em relação do uso da História da
Matemática na Educação Matemática.
2.1. - Décadas de 30 a 50 ..................................................................... 27
2.2. - Décadas de 60 a 80 ..................................................................... 28
2.3. - Década de 90 até os dias de hoje ................................................ 30
CAPÍTULO 3 – A atuação do livro didático em relação do uso da História da
Matemática na Educação Matemática.
3.1. - Décadas de 30 a 50 ..................................................................... 34
3.2. - Décadas de 60 a 80 ..................................................................... 36
3.3. - Década de 90 até os dias de hoje ................................................ 37
CAPÍTULO 4 - O que alguns educadores, psicólogos e pensadores falam sobre o
uso da História da Matemática na Educação Matemática ............... 43
CAPÍTULO 5 – Um olhar mais abrangente dos grupos de pesquisas sobre a
História da Matemática na Educação Matemática.
5.1. - História na Educação Matemática – Propostas e Desafios ......... 49
5.2. - Interfaces das Abordagens Históricas ......................................... 54
CAPÍTULO 6 – Propostas de trabalhos escolares que abordam a História da
Matemática para serem usados em sala de aula.
6.1. – Do Rio Antigo ao lançamento do Real ........................................ 58
6.2. - Tempo bom no estudo do clima ................................................... 59
6.3. - Mapa Mundi ................................................................................. 60
6.4. - Recorte de jornal ou revista ......................................................... 61
6.5. - Números Naturais, sistemas de numeração decimal e números
racionais ...................................................................................... 62
6.6. - Números Abundantes, Deficientes, Amigos e Perfeitos .............. 63
6.7. - Triângulo de Pascal ..................................................................... 64
6.8. - Crivo de Erastóstenes ................................................................. 65
6.9. – Aritmética Maya .......................................................................... 66
6.10. – O método de multiplicação e divisão egípcio ........................... 68
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 71 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 74 GLOSSÁRIO .................................................................................................. 78
RESUMO
A História da Matemática tem hoje uma forte influência no ensino-aprendizagem da Matemática. Das diversas abordagens que se aplicam a Educação Matemática, o uso da História da Matemática se destaca.
Diversos pesquisadores têm se dedicado a mostrar a importância do conhecimento histórico na formação inicial de futuros professores e também como o uso da História da Matemática em sala de aula permite que a aprendizagem deles e seus futuros alunos torne-se mais significativa.
Com esse intuito pesquisamos como evoluiu o interesse por essa área, principalmente no Brasil, como as leis educacionais e os livros didáticos têm colaborado para fortalecer essa tendência, em diversas épocas.
Com uma leitura mais profunda do livro de Miguel & Miorim: História na Educação Matemática – Propostas e desafios de 2004 e do texto: Interfaces das abordagens históricas de Ubiratan D´Ambrosio, escrito para o seu site oficial, em 1999, pude construir um olhar mais abrangente dos grupos de pesquisas e demonstrar através de diversas propostas de trabalhos que abordam a História da Matemática, como é possível aplicá-los em diversos momentos do ensino, desde das séries iniciais até a formação de professores.
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática; História; Aprendizagem.
ABSTRACT
The History of Mathematics today has a strong influence in the learning and teaching of the Mathematics. Among several approaches that apply to Mathematics Education, the use of the History of Mathematics detaches.
Various researchers have dedicated to show the importance of the Mathematics history knowledge to initial formation of futures teachers and also too the use History of the Mathematics into the classroom permits that the learning of them and your futures students became more significant.
With this intention we research how the interest in this area had evolution, just in Brazil, after the low of education and the didactics books have the collaboration to make strong this tendency, in many times.
With deep reading in the book´s Miguel & Miorim: “História na Educação Matemática – Propostas e desafios” of 2004 and the text: “Interfaces das abordagens historicas” of Ubiratan D´Ambrosio, written in his official web site in 1999, I could build a broad look of the groups of research and demonstrate through many proposal of working that approach the mathematics history, how is possible to apply them at different moments of the teaching, since the first series until the formation of teachers.
KEY-WORDS: Education Mathematics; History; Learning
OBJETIVOS
Demonstrar a importância da origem dos conteúdos matemáticos;
Enfatizar o aprendizado da História da Matemática como elemento cultural e interdisciplinar;
Apresentar livros didáticos que abordam temas da História da Matemática;
Enfatizar a importância de grupos de estudos e pesquisas ligadas à Educação Matemática;
Demonstrar como utilizar a História da Matemática, em vários momentos do ensino fundamental e médio, e interligá-los a outras disciplinas.
METODOLOGIA
Nessa monografia apresentamos um levantamento bibliográfico de diversos pontos de vista sobre a utilização da História da Matemática nas aulas de Matemática, buscando elevar a importância desse tópico na vida escolar e cotidiana;
Exploramos o que a legislação brasileira dentro do Plano Nacional de Educação (PNE) tem a dizer a respeito da utilização da História da Matemática no ensino da Matemática;
Analisamos e indicamos livros didáticos, recomendados pelo Ministério da Educação e Cultural (MEC) e adotados nas escolas, como apoio primordial na utilização da História da Matemática em sala de aula;
Apresentamos trabalhos e projetos que podem ser utilizados em sala de aula, para abordar os assuntos históricos, em qualquer etapa do ensino da Matemática.
MEMORIAL
Quando iniciei meu curso universitário de Licenciatura em Matemática na Fundação Santo André (FSA) no ano de 1993, não tinha muita noção do que eu iria enfrentar, só sabia que era para “dar aulas”.
Fui incentivada pela minha irmã Léia que na época já havia se formado em História e lecionava.
Apesar de ter feito colégio técnico e estudado durante um ano e meio na Faculdades Mackenzie – São Paulo, no curso de Tecnologia em Construção Civil , não fui muito bem no vestibular da FSA, o que me trouxe algumas preocupações. Pois como muitas pessoas eu também tinha um receio de “Matemática”, mesmo assim resolvi encarar o curso.
Sabia que a Matemática está presente no mundo ao nosso redor e que ela me ajudaria a chegar a um caminho melhor, que até aquele momento, era incerto.
Com o decorrer do curso os significados matemáticos começaram se aflorar em minha mente e me tornei já no primeiro ano uma das melhores alunas do curso e fui escolhida monitora de Calculo Diferencial por dois anos seguidos, me tornando uma apaixonada pela Matemática.
Mas ainda não lecionava, não tive coragem de largar meu emprego de desenhista e começar a “dar aulas”, pois achei que sem a devida formação não estava habilitada para isto.
Lembro, muito vagamente, que foi comentado no curso a aplicação e utilização da História da Matemática na disciplina Fundamentos da Matemática. Foram feitas algumas citações, principalmente sobre o livro de Carl Boyer: História da Matemática.
Nessa época não era a História da Matemática que me preocupava e sim a aplicação e utilização da geometria em sala de aula. Acho que como era desenhista tinha uma certa “queda” para esse conteúdo.
No próprio curso na disciplina de Prática de Ensino, algumas dúvidas foram sanadas e o meu interesse pela geometria também possibilitou que eu pudesse montar apostilas e desenvolver projetos para usa-los em sala de aula com meus futuros alunos. Até hoje esses projetos são aplicados em minhas aulas, com adaptações ou modernizações conforme o contexto da escola.
Aí, começou uma nova preocupação, como fazer os alunos entenderem melhor os significados dos conteúdos matemáticos? Como aplicar esses conteúdos de forma mais interessante para os alunos?
Lendo e analisando vários livros didáticos, a História da Matemática começou me despertar algum interesse, e quanto mais eu lia as notas históricas dos livros, mais a intenção de poder de alguma maneira passar essas informações para os alunos foi crescendo.
Depois de constituir uma família, o tempo ficou escasso, mas a necessidade de sanar meus questionamentos e a paixão por estudar, me levaram a procurar um curso de Pós-Graduação, após dez anos de formada.
Nesse curso descobri que a Matemática vai muito além daquilo que eu já sabia e que o movimento chamado Educação Matemática, traz para nós professores o sentido exato de “dar aulas”.
INTRODUÇÃO
[...] o fio que une todos e que nos une a todos é a esperança de que, cada vez mais abordagens históricas significativas, orgânicas e esclarecedoras da cultura Matemática venham modificar qualitativamente as práticas escolares nas quais a Matemática se acha envolvida. (MIGUEL & MIORIM, 2004, p. 11-12)
Observando nos meus oito anos de magistério, no Ensino Fundamental (5a a 8a séries) e Médio, percebi que vários professores introduzem os conteúdos escolares de forma abstrata e distante da compreensão de muitos alunos, com lista de exercícios enormes, para que haja um empenho subconsciente do aprendizado, de maneira tradicionalista.
Devido a essa realidade, viso nesse trabalho abordar as metodologias possíveis, principalmente no que diz respeito ao ensino da História da Matemática.
Sei que não é tarefa fácil, pois existem grupos de pessoas contra a introdução da abordagem histórica no ensino da Matemática. Há uma alegação que os professores de “História” tem dificuldade para conseguir interesse de seus alunos e que como o alemão Gert Schubring afirma: “que os interesses históricos não estão mais presentes em algumas sociedades”. (Apud: MIGUEL & MIORIM, 2004, p. 25)
Em nossa pesquisa, foram localizadas diversas citações favoráveis ao uso da História da Matemática em sala de aula. Grupos de estudos e livros didáticos mostram que cada vez mais os assuntos voltados para essa tendência estão em evidência.
Com a criação da HPM [1] (History and Pedagogy of Mathematics) em Toronto, Canadá, em 1983, essa tendência torna-se um referencial nas questões históricas na Matemática e, no Brasil, a partir da criação da SBHMat (III Seminário Nacional de História da Matemática) em Vitória, no Espírito Santo (ES), em 1999, intensificou-se o movimento da História da Matemática.
A História dos números, a origem da geometria, a filosofia, a cultura e a evolução do ser humano, são temas que inspiram interesse para os alunos e, a partir daí evoluem seus raciocínios matemáticos, relacionando-os com a necessidade do dia-a-dia.
A História da Matemática deve ser usada como suplemento, para que haja uma melhor relação entre professor-aluno e aluno-professor.
As práticas educativas se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas tradições e a História compreende o registro desses fundamentos. Portanto, é praticamente impossível discutir Educação sem recorrer a esses registros e a interpretações dos mesmos. Isso é igualmente verdade ao se fazer o ensino das várias disciplinas. Em especial da Matemática, cujas raízes se confundem com a História da humanidade. (D’AMBROSIO, 1999, p. 97-115) [2]
A busca incansável da resolução dos inquéritos humanos, a busca pela perfeição da essência da vida e o grande interesse de suprir as necessidades da sociedade, levaram os grandes matemáticos, filósofos, geômetras a escrever e descrever a relação humana com sua tradição, cultura e conhecimento.
Dado um determinado problema, os seres começam a mover sua mente em busca da solução. (GEORGE POLYA) [3]
Embora hoje em dia esses fatos, muitas vezes não são levados em conta, inconscientemente eles estão impregnados em nosso ser, em nossas atitudes e tradições.
Como está descrito no Novo Dicionário – 1a. Edição de 1975, de Aurélio Buarque de Holanda, o sentido da tradição é “transmitir ou entregar”, “transmissão oral de lendas, fatos, etc”. Partindo dessa definição, explorarei as diversas maneiras desse conteúdo passar a ser transmitido ou entregue ao conhecimento do aluno.
Em nosso trabalho, enfatizamos: as opiniões de outros matemáticos e pedagogos; o que alguns livros didáticos vem apresentando nessa linha; o que a legislação vigente tem a dizer desse recurso e qualquer outra situação que lhes possam auxiliar.
No capítulo 1, apresentamos um breve levantamento histórico dos grupos de pesquisas que trabalham a favor da aplicação da História da Matemática em sala de aula e quais suas principais motivações.
No capítulo 2, temos uma ligeira apresentação das legislações a partir década de 30, reformas educacionais Campos e Capanema, passando pela Matemática Moderna da década de 80 e as atuais Leis de Diretrizes e Bases (LDB) e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).
No capítulo 3, comentamos sobre os livros didáticos, seguindo a cronologia do capítulo anterior e, principalmente, sobre o Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2005.
No capítulo 4, abordamos vários comentários e colocações de alguns educadores que se destacam nos estudos de novas tendências no ensino da Matemática, principalmente no que se diz respeito à História na Educação Matemática.
Já no capítulo 5, fazemos uma breve resenha dos textos, sobre a influência da História na Educação Matemática, de três ícones importantes no meio acadêmico Antônio Miguel, Maria Ângela Miorim e Ubiratan D’Ambrosio.
Para finalizar, no capítulo 6, apresentamos alguns trabalhos, já aplicados em sala de aula, que obtiveram resultados significantes no que se diz respeito à introdução da História da Matemática como complemento curricular.
CAPÍTULO 1
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
A construção do conhecimento nunca é definitiva. Nunca se pode fundar em definições fechadas. A rede encontra-se em permanente estado de atualização. Para aprender o sentido das transformações, o caminho é um só: é preciso estudar História. Ninguém pode ensinar qualquer conteúdo, das ciências às línguas, passando pela Matemática, sem uma visão histórica de seu desenvolvimento. É na História que se podem perceber as razões que levaram tal ou qual relação, tal ou qual conceito, a serem constituídos, reforçados ou abandonados. (Apud MACHADO, 2000, p. 103) [4]
1.1. - Considerações Iniciais:
O objetivo inicial deste trabalho é descobrir porque os professores de Matemática, inclusive eu, não utilizam a História da Matemática em sala de aula, seja para introduzir conteúdos; como metodologia complementar; interdisciplinar; apoio pedagógico; ou seja, os vários sentidos que uma abordagem histórica pode trazer.
Percebi através de minhas leituras que alguns questionamentos sobre o uso da História vêm de alguma maneira sendo passados a diante sem respostas, durante décadas.
Mas a História da Matemática vem sendo foco de discussão no mundo acadêmico com mais intensidade a partir da década de 70, onde foram criados a HPM (History and Pedagogy of the Mathematics) – Grupo de Estudo da História da Matemática e também o ICMI (Comissão Internacional em Instrução Matemática ) e inúmeros outros grupos filiados ao ICMI.
Após essas crescentes reflexões sobre o uso da História da Matemática na Educação Matemática, o comitê executivo do ICMI, em 2000, no Japão, escolheu como tema de debate “O Papel da História da Matemática no Ensino e Aprendizagem em Matemática”, que resultou no livro: History in Mathematics Education, de Jonh Fauvel e Jan Van Maanen, com contribuições de 62 pesquisadores de vários países, inclusive 3 brasileiros: Circe M. Silva (UFES), Sérgio Roberto Nobre (UNESP-Rio Claro) e João Pitombeira de Carvalho (PUC-RJ). (BARONI, NOBRE, TEIXEIRA) [5]
1o. Promover contatos e troca de informações internacionais;
2o. Estimular investigações interdisciplinares entre matemáticos, historiadores de Matemática, professores, cientistas sociais e outros usuários da Matemática;
3o. Levar uma compreensão mais profunda da Matemática;
4o. Relacionar o ensino da Matemática e a História da Matemática para o desenvolvimento da melhor instrução da própria Matemática;
5o. Produzir materiais que possam ser usados por professores de Matemática;
6o. Facilitar aceso de materiais que abordem a História da Matemática;
7o. Promover consciências que levem os professores de Matemática a usar a História da Matemática em suas aulas;
8o. Conscientizar que a História da Matemática é uma parte significativa do desenvolvimento de culturas.
Também ocorrem discussões importantes em torno da própria História da Matemática, como objeto, assim como em relação ao impacto de seu uso no ensino-aprendizagem de Matemática.
A seguir, faço algumas comparações dos questionamentos escritos no Documento de Discussão do ICMI de 1997, levado ao Congresso Internacional de Educação Matemática que ocorreu no Japão em 2000, citado acima (esse documento continha questionamentos que foram organizados por Jonh Fauvel), com o trabalho de mestrado de Romélia Mara Alves Souto, orientada pelo Prof. Sergio Roberto Nobre, Doutor em História da Matemática da UNESP-Rio Claro.
Em 1997, Romélia apresenta em seu trabalho alguns questionamentos para professores brasileiros – especificamente de uma região de Minas Gerais, podendo-se generalizar como a grande realidade do ensino de Matemática que ocorre em todo o Brasil.
Na leitura do documento do ICMI e do trabalho da Romélia, várias perguntas, sobre a História da Matemática na Educação Matemática, que aparecem em ambos se assemelham. Sintetizamos as perguntas em duas principais e analisamos as respostas dadas a elas pelos colaboradores, no caso do documento do ICMI e dos entrevistados, no caso do trabalho de mestrado.
Primeira: Qual o nível de escolaridade em que deve ser aplicado o ensino da História da Matemática? No documento do ICMI temos que: “a História da Matemática deve ter um papel importante no aprendizado de futuros professores, para que esses alunos-professores possam ver a Matemática de maneira diferente e desenvolver habilidades de escrita, leitura e pesquisas na área da Educação Matemática”. [7] Dos entrevistados por Romélia, parte deles alegam que a falta de conhecimento da História da Matemática dificultam a sua ulitização para fins didáticos; esses professores não tiveram Historia da Matemática em sua formação acadêmica e se sentem inseguros para utilizá-la.
Segunda: Quais as conseqüências para a organização e prática em sala de aula? O documento do ICMI destaca que o interesse e o prazer pelas aulas foram notados, obtendo assim uma integração maior com os conteúdos a serem aplicados. No trabalho da Romélia professores concordam que a História da Matemática pode despertar no aluno o gosto pela Matemática e que ela contribui para o melhor relacionamento entre professor-aluno, mas em contra partida há professores que dizem que essa prática e organização só são possíveis se tiverem mais tempo para abordar a História; que os livros devem abordar os conteúdos com mais clareza; que ela deve integrar o currículo escolar para que possa ser cobrada dos alunos e há também a alegação que não são todos que gostam desse tipo de abordagem e acham que o conteúdo matemático é mais importante que os aspectos históricos.
O Prof. Jaime Carvalho e Silva do Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, Portugal, escreveu para a Reunião Internacional do HPM de 1994, que foi realizada no Brasil, um texto: História da Matemática na sala de aula: Esperanças, incertezas e perigos. Nele, ele descreveu seu sentimento, que já denotava as mesmas preocupações, citadas nos dois trabalhos acima:
De fato penso que uma discussão neste assunto não é suficiente. Uma instrução da Matemática é discutida, uma História da Matemática é discutida, [...] com algumas exceções, poucas discussões concretas são feitas dos “como e dos porquês” da História da Matemática em sala de aula.
Naturalmente eu vi um perigo grande aqui. É obvio que o interesse pela a História da Matemática é recente e crescente, essa forma na instrução da Matemática inclui História. Minha pergunta é: isso desaparecerá em alguns anos e estará esquecida de todo o sistema? [8]
Silva também coloca culpa na falta de tempo, um currículo sobrecarregado, poucos livros didáticos; diz que somente a partir de 1992, em Portugal, voltaram-se a produzir livros didáticos com referências de fatos históricos muito vagas por sinal, em decorrência de decretos ministeriais no ano de 1991.
Muito se assemelha a inquietação no Brasil, os professores esperam melhores recursos, mais ações governamentais, mais discussões concretas que gerem materiais de apoio pedagógicos concretos, etc.
1.2. - A História da Matemática no Brasil:
A História da Matemática no Brasil está intimamente ligada a História da Educação Matemática, pois seja qual for o domínio do conhecimento matemático, produzido no Brasil, de alguma forma, ele estará vinculado às questões educacionais.
O Grupo de Pesquisa da História da Matemática (GPHM) da UNESP-Rio Claro teve colaborações de professores como Ubiratan D´Ambrosio, Rubens Lintz e Irineu Bicudo, que sempre demonstraram grande interesse por essa área. Há vários anos, a disciplina História da Matemática passou a ser obrigatória nos cursos de graduação desta mesma instituição.
Os organizadores desse grupo, que são Marcos Vieira Teixeira, Rosa Sverzut Baroni e Sérgio Roberto Nobre, participam ativamente de diversos eventos nacionais e internacionais ligados a esse tema; da mesma forma alguns membros também participam do SBHmat (Sociedade Brasileira de História da Matemática) e são co-editores da Revista Brasileira de História da Matemática: an International Journal on the History of Mathematics.
O objetivo principal deste grupo de pesquisa é realizar estudos que contribuem para o desenvolvimento da Matemática no Brasil, tornando à prática de ensino um meio de transmitir uma Matemática mais acessível e o uso da História da Matemática, para eles, é o que torna essa prática possível.
Alguns matemáticos vêm fazendo trabalhos significativos nessa área. Eles não medem esforços. Uns deles é o Prof. Dr. Antonio Miguel que juntamente com a Profa. Dra. Maria Ângela Miorim, coordena o grupo de pesquisa HIFEM [9] na Faculdade de Educação da UNICAMP.
Eles escreveram o livro História na Educação Matemática – Propostas e Desafios – Ed. Autêntica, 1a. Edição, 2004; vejamos o que o Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba [10], diz sobre esse livro na contra-capa do mesmo:
Nesse livro, os autores discutem diversos temas que interessam ao educador Matemático. Eles abordam História da Matemática. História da Educação Matemática e, como essas duas regiões de inquérito podem se relacionar com a Educação Matemática. O leitor irá notar que eles também apresentam uma visão sobre o que é História e abordam esse difícil tema de uma forma acessível ao leitor interessado no assunto. Este décimo volume da coleção certamente transformará a visão do leitor sobre o uso da História na Educação Matemática.
Outra referência hoje no Brasil é o Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrosio, que escreve e auxilia diversas pesquisas, em todas as áreas da Matemática; e não é diferente quando o assunto é a introdução da História na Educação Matemática. No capítulo 5 do nosso trabalho descrevo trechos do texto: A interface entre História e Matemática: Uma visão histórico pedagógica, encontrada no seu site oficial.
1.3. - O Porquê da História da Matemática em sala de aula:
Várias pessoas se perguntam se é importante o uso da História da Matemática em sala de aula, essas questões vêm gerando muitas pesquisas no mundo inteiro e as respostas têm sido positivas. A esse respeito Fauvel e Maanen (2000), dizem:
Que o estudo de sua História faz uma diferença para estes alunos; que tê-la como fonte para o professor é algo muito benéfico e que a Matemática escolar reflete aspectos mais amplos da Matemática como uma atividade cultural, os quais podem ser introduzidos com estudos sobre sua História. (Apud ZUFFI & FELICIANO) [11]
Do ponto de vista filosófico justifica-se a História da Matemática como uma atividade humana, feita a partir de culturas individuais, onde pode enriquecer a compreensão do aluno de maneira interdisciplinar, mostrando caminhos alternativos para o processo de aprendizado e não só usar os fatos históricos isoladamente.
Algumas motivações já foram levantadas em defesa do uso da História da Matemática no processo educacional, são elas:
Os problemas abordados num contexto histórico podem motivar e estimular o aluno;
Fornece subsídios inter-disciplinares, fazendo que o aluno domine com maior facilidade outras disciplinas;
Proporciona ao aluno um crescimento pessoal e habilidades com escrita, leitura e interesse por pesquisa;
O aluno passa a entender melhor as terminologias, notações e representações matemáticas;
Os professores podem identificar variações na introdução de um novo conceito;
Os professores podem identificar com mais clareza as dificuldades que forem aparecendo no desenvolvimento de cada conteúdo;
A História da Matemática que permite que alunos e professores entrem em contato com Matemáticas de outras culturas, desmistificando a Matemática ocidental, explorando também a EtnoMatemática. (BARONI, NOBRE, TEIXEIRA) [12]
Acredita-se que a História da Matemática seja um instrumento que destaca o valor da Matemática em sala de aula e mostra aos alunos a amplitude da mesma, fazendo-os perceber que a Matemática vai muito além dos cálculos.
Claro que nem tudo é um “mar de rosas”, os aspectos desfavoráveis também aparecem, pois muitos criticam o uso da História da Matemática, mas há sim um bom senso, considerando que a História da Matemática é primordial para a formação do futuro professor: “Na formação inicial do professor de Matemática, o uso da História é inestimável, permitindo um aprendizado mais significativo, capaz de explorar/ultrapassar os obstáculos epistemológicos e levar a uma melhor compreensão da área”, (PAMPLONA, 2005)[13] mas seu uso em sala de aula ainda é muito questionado, veja algumas argumentações contraditórias:
História não é Matemática;
A História pode dificultar a compreensão dos conceitos;
Pode ocorrer uma visão distorcida do passado;
Alguns alunos têm aversão a História e conseqüentemente a Matemática;
O estudo do passado é perda de tempo, dado os avanços tecnológicos;
Falta de tempo para introduzir a História da Matemática;
Falta de material adequado;
Falta de experiência do professor;
CAPÍTULO 2
OS ASPECTOS DA LEGISLAÇÃO EM RELAÇÃO DO USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
E, por fim, com o intuito de aumentar o interesse do aluno, o curso está incidentalmente entremeado de ligeiras alusões a problemas clássicos e curiosos e aos fatos da História da Matemática, bem como a biografia dos grandes vultos desta ciência. (Apud BICUDO, 1942, p. 8) [15]
Nesses próximos capítulos, tentamos amenizar os pontos ditos como desfavoráveis, em relação ao uso da História da Matemática em sala de aula, mostrando que vários aspectos como: legislação, livros didáticos, grupos de estudos estão avançados nesse assunto, permitindo que hoje já se faça um planejamento escolar, voltado para um enfoque histórico dentro do curso de Matemática.
Quem vem acompanhando as mudanças políticas que envolvam o ensino a ser aplicado em todo o território nacional, nota que as exigências de novas abordagens é sempre colocada em evidência.
O Brasil conforme Nelson Piletti: “passou pelo menos por 21 reformas; das reformas pombalinas (1759) até a de 1996, só no ensino médio, e no ensino fundamental foram muito mais”.[16]
Desde da época do império no século XIX, o Brasil passou a receber duras críticas pela a situação do ensino aplicado aqui, o atraso era visível em relação a outros países, como a Argentina, por exemplo. (Apud SOLARI, 15a. Edição, 2000)
Assim as legislações passaram a ser utilizadas como instrumento para corrigir certas falhas: a “mágica da lei”, [17] como já dizia Anísio Teixeira.
2.1. – Décadas de 30 a 50:
Sem querer voltar muito no tempo, no início do século XX, percebemos que algumas medidas governamentais começaram tornar possíveis algumas mudanças no que se diz respeito à Educação.
Alguns nomes juntamente com Campos, os Normalistas [18] Anísio Teixeira, Fernando de Azevedo e Lourenço Filho, deixaram um rastro de trabalho sobre o qual o Estado de 37 iria elaborar suas reformas nacionais e deixar, por sua vez, uma herança forte, em termos institucionais e legislativos, para os anos 50. (Apud CORREA, p. 17)
A portaria ministerial de 30-06-1931, apresentada por Francisco Campos, o 1º. Ministro do Ministério da Educação e Saúde, enfoca o uso da História da Matemática como complemento a ser usado em sala de aula.
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo (1890-1950), foi adepto fervoroso das novas propostas de ensino de Matemática implantadas na reforma educacional feita por Campos, adotando no seu livro Curso de Mathematica Elementar usado no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, que será visto mais afundo no próximo capítulo.
Gustavo Capanema, Ministro da Educação e Cultura de 1942, em 1º de abril do mesmo ano, apresentou a Lei Orgânica do Ensino Secundário e Legislação Complementar, no Rio de Janeiro, com pequenas alterações, seguindo a linha em que Campos já havia formulado em 1931. Os trechos abaixo mostram como Capanema seguiu seu raciocínio em relação ao ensino já vigente no País e, curiosamente, como ele distinguiu os alunos por sexo, a única grande mudança aparente em sua legislação.
Presidiu à elaboração da presente reforma a preocupação de aproveitar a boa experiência não só a experiência da última legislação do ensino secundário, mas também a proveniente das legislações anteriores. [19]
É estabelecida a diferenciação do ensino secundário feminino. Deverá este ensino tomar em consideração a natureza da personalidade feminina e a missão da mulher dentro do lar. Decorrerão naturalmente dessa diferenciação uma diversa orientação dos programas e a separação das classes, sempre que na mesma escola secundária houver alunos dos dois sexos. É claro, porém, que sob o ponto de vista do valor da preparação intelectual, o ensino secundário feminino permanecerá identificado com o ensino secundário masculino. [20]
M. L. Marcílio diz em seu livro que nessa época:
O momento era de ditadura e forte influência fascista e autoritária, mas ao mesmo tempo fundada em princípios do populismo nacionalista, o ensino primário foi reformulado pelo Decreto-Lei nº. 8.529, de 2 de Janeiro de 1946, a Lei Orgânica do Ensino Primário articulou verticalmente a Educação primária á média. [21]
No período de 1945 até 1964, a gestão do sistema educacional brasileiro passou por mudanças significativas; foram realizados campanhas e movimentos de alfabetização de adultos; expandiu-se consideravelmente o ensino primário e superior. Essas pequenas modificações foram prevalecendo no ensino até a implantação das Diretrizes e Bases da Educação Nacional, em 1961.
2.2. - Décadas de 60 a 80:
Mesmo o Brasil sob forte influência da ditadura que se estendeu por mais de duas décadas, os educadores seguiam uma nova tendência que estava surgindo no mundo todo a Matemática Moderna.
O que se percebeu é que nas décadas de 60 e 70 ocorreu uma tentativa de aproximação da Matemática escolar com a Matemática pura:
O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à própria Matemática, mais voltada à teoria do que a prática. A linguagem da teoria dos conjuntos, por exemplo, foi introduzida com tal ênfase que a aprendizagem de símbolos e de uma terminologia interminável comprometeria o ensino do cálculo, da geometria e das medidas. [22]
Mesmo dentro deste movimento chamado de Moderno, criticado acima, apareceram diversos matemáticos e historiadores da Matemática, os quais recorreram à categoria psicológica da motivação para justificar a inclusão de conteúdos históricos. Entre outros temos: Simons (1923), Hassler (1929), Meserve (1980), Booker (1988) e Swetz (1989).
Augusto Comte acreditava que a Matemática escolar, como qualquer outra ciência, era exposta em dois caminhos distintos: “o primeiro histórico, seguindo uma cronologia e experiências muito próximas da realidade já vivida; o segundo é dogmático com conhecimentos suficientes para refazer a ciência em seu conjunto”. (Apud COMTE, 1978, p. 27) [23]
O pesquisador Charles H. D´Augustine em seu livro de 1970 aborda a evolução da Matemática nos Estados Unidos desde o Período Colonial – Americano – até o Movimento que se chamou de Moderno; ele cita em seu livro que essa reforma mais se associava a uma revolução educacional, graças a uma série de fatores favoráveis e um deles é que “a seqüência no ensino da Matemática na escola primária era mais histórica do que lógica”. [24]
Em uma análise mais profunda, D´Augustine, em sua pesquisa, incorpora os resultados ao currículo, citando que alguns matemáticos da década de 20 foram desacreditados por estudiosos como: Robert Davis, William Hull e Jean Piaget. Esses matemáticos “Modernos” acreditavam que: “Não há um método apropriado para introduzir um conceito, porque o método varia de acordo com o nível de abstração, dependendo da maturidade das crianças e de suas experiências prévias relacionadas ao assunto”; [25] o que ia pela contra-mão desses estudiosos.
Foi com a LDB de 1961 e a LDB de 1971 que começou no Brasil, uma massificação do ensino seja ele primário, secundário ou universitário, o lema era: “Educação gratuita e para todos”. [26] Sendo essa proposta eleita uma das vilãs dos problemas que ainda hoje ocorrem no ensino no Brasil:
A super lotação nas salas de aula; ocasionaram bastantes problemas para a época, para se ter uma idéia em 1947 havia 2.572 alunos matriculados em escolas públicas e em 1960 havia 257.591 (Fonte: SPOSITO, p. 45) [27]
Na década de 70, houve uma desorganização generalizada do ensino médio. “Instalou-se o caos no ensino médio”, segundo Piletti. [28]
Demorou em torno de onze anos para que as autoridades educacionais atendessem as diversas reclamações.
2.3. - Década de 90 até os dias de hoje:
O Brasil passou por transformações revolucionárias a partir da década de 1980. Explodiu a industrialização; a concentração demográfica; a grande desigualdade social e uma Educação “excluísta”, que chamou atenção de órgãos internacionais.
Sentindo necessidade de modificar esse quadro, o Ministro da Educação Paulo Renato Souza, no governo de Fernando Henrique Cardoso (1995-2002): universalizou o ensino fundamental no país, implantou sistemas de avaliação em todos os níveis, criou a Bolsa-Escola e o Fundef, no programa “Educação para Todos”. [29] O ministro juntamente com sua equipe de trabalho elaborou também a nova LDB de 1996, deixando bem claro quais os caminhos que os educadores deviam seguir, em todas as disciplinas, para que os rumos da Educação viessem a modificar o quadro atual, na área da Matemática não foi diferente, abrindo precedentes para diversas tendências de metodologias de ensino a serem utilizadas.
A nova constituição de 1988 em conjunto com a LDB (Lei de Diretrizes e Bases) de 1996, coloca de forma direta a importância da História na Matemática como uma tendência a ser utilizada; esse tipo de abordagem traz para a convivência cotidiana valores de fórum: cultural, artístico e etnomológico. Os seguintes dizeres expressam meus sentimentos:
Serão fixados conteúdos mínimos para o ensino fundamental, de maneira a assegurar formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos, nacionais e regionais. [30]
A liberdade de aprender, ensinar, pesquisar e divulgar a cultura, o pensamento, a arte e o saber. [31]
Os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) vem complementar a LDB de 1996, tornando-a essencial para a fixação dos parâmetros, como o próprio nome diz, da metodologia a ser seguida por um professor seja qual for a sua área.
Um professor tem sucesso no ensino da Matemática se seguir estes preceitos:
1) Conhecer a fundo a disciplina, seus métodos, ramificações e aplicações para poder escolher a maneira correta de ensinar e avaliar seus alunos. Por exemplo, não adianta o professor tentar ensinar frações aos alunos se ele próprio não dominar o tema por completo e não souber mostrar-lhe em que situações concretas as frações serão úteis para cada um;
2) Conhecer a História de vida de seus alunos para sintonizar o ensino com a bagagem que eles trazem de casa. Se a criança mora no campo e ajuda o pai na lavoura, o professor, ao ensinar o conceito de área, deverá se esforçar para propor exercícios que envolvam o cálculo de áreas de plantio, o que certamente tornará muito mais fácil à compreensão da questão.
É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular a Matemática. Mas conhecer diversas possibilidades é fundamental, como: Resolução de Problemas; Jogos; Novas Tecnologias, bem como o uso da História da Matemática.
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problema de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. (BRASIL, 1998, p.40) [33]
Veja como os PCN trata esse assunto no seu segundo capítulo: Aprender e ensinar Matemática no ensino fundamental.
A História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem em Matemática.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos Históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos Matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno diante do conhecimento Matemático.
Além disso, conceitos abordados em conexão com sua História constituem-se veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural.
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias Matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar resposta a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.
Os PCN além de indicar alguns recursos que possam ser acrescentados para um professor dar uma “boa aula”, ressalta a importância do saber matemático. Ubiratan D’Ambrosio sintetiza três categorias de um bom professor: “1. emocional/afetiva; 2. política; 3. conhecimento”. [35]
Existem corpos docentes: diretores, coordenadores e professores, que preferem ignorar a existência dos PCN; eles seguem apenas aquilo que lhe fora passado anteriormente e como no Brasil não há uma regularidade na formação de professores, vemos muita discrepância nas opiniões sobre as aplicações de conteúdos.
Mas esse quadro vem se modificando aos poucos. Percebe-se que há uma busca maior pela reciclagem do conhecimento, seja por vontade própria ou por ações de alguns governantes. Em vários países, incluindo o Brasil, já se observa a inclusão da História da Matemática em livros didáticos e em currículos de curso de formação de matemáticos e professores de Matemática (equivalente a nosso bacharelado e licenciatura) tem sido intensificada e mesmo incentivada. Essa atitude tem um componente político forte, dado que:
Muitas pessoas têm estudado, aprendido e usado Matemática há mais de 4000 anos. Sobre o que deve ser ensinado, e como, no fundo são decisões políticas, influenciadas por vários fatores, como a experiência dos professores, expectativa dos pais e dirigentes, e o contexto social de debates sobre o currículo. (Apud FAUVEL & MANEN, 2001, p. 1) [36]
É preciso, em primeiro lugar, que os professores dos Ensinos Fundamental e Médio recebam capacitação que os torne aptos a entender sobre a História da Matemática e a conectá-la aos conteúdos trabalhados em sala de aula. (NOBRE, BARONI, TEIXEIRA) [37]
O futuro mostrará os frutos do que vem sendo plantado agora.
CAPÍTULO 3
A ATUAÇÃO DO LIVRO DIDÁTICO EM RELAÇÃO DO USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionados ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrentes dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória. [38]
3.1. – Décadas de 30 a 50:
Conforme estudos feitos por Miguel & Miorim [39] – Cecil Thiré & Mello e Souza, foram os primeiros a confeccionar textos históricos relacionados com a Matemática brasileira, onde eles contam a maneira de algumas tribos indígenas lidarem com a contagem, usando igualmente aos árabes, os dedos da mão. Vide C.T. & M.S. – Mathematica – 1º. Anno – 1931, p.357-8. Esses autores também seguiram a tendência pedagógica descrita na Reforma de Campos, juntamente com Roxo.
O Prof. Wagner R. Valente, da Universidade de São Paulo - SP, fez um levantamento juntamente com o Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática no Brasil, o (GHEMat) sobre o livro citado acima, entre outros da mesma época, onde já podemos encontrar digitalizada algumas páginas originais desses livros, no CD-ROM intitulado: A Matemática do Ginásio – Livros Didáticos e as Reformas Campos e Capanema.
No livro Matemática 1º. Ano, Cecil Thiré & Mello e Souza, professores do Colégio Pedro II no Rio de Janeiro, expressam no prefácio desse livro as suas tendências pedagógicas, chegam a criticar professores, alegando que eles complicam e dificultam o ensino da Matemática e que alguns não sabem distinguir o ensino primário do ensino secundário, tornando o curso inadequado para o desenvolvimento mental dos alunos.
Escreveram nesse prefácio como seria seguida sua metodologia de ensino:
Sem fugir ao programa oficial, que seguimos pari passu, procuramos abordar as diferentes partes da Aritmética, Álgebra e Geometria, em conjunto, com simplicidade e máxima clareza, sem a confusão de assuntos. Fizemos acompanhar cada capítulo de um pequeno trecho de leitura capaz de despertar no jovem estudante o interesse pelos diversos fatos da História da Matemática e pela vida dos grandes sábios que colaboraram no progresso dessa ciência. (C.T. & M.S, 1º Anno, 6ª. Edição, 1934) [40]
Dois anos antes, Euclides Roxo, escreveu para o mesmo Colégio Pedro II, onde todos eram professores, um livro chamado Mathematica Elementar - Volume 1 – 1929, sobre forte influência de Henri Poincaré, onde ele transcreve vários trechos de um pronunciamento feito por Poincaré em Paris, 1904.
No prefácio desse livro, além do discurso de Poincaré, Roxo exprime sua concordância com o movimento de reforma que estava surgindo, ditado por Klein, considerado por ele um dos maiores matemáticos deste século, suas falas e tendências ecoavam por todo o mundo, podemos dizer que Roxo foi seu retransmissor no Brasil.
O mais importante é ressaltar que Roxo, influenciado por esses matemáticos, também achava que a utilização de fatos históricos era de primordial relevância, ele apresenta em seu livro pequenos relatos históricos, intitulados: Nota Histórica. Aparece nesse livro citações sobre o zero e números negativos (Roxo, p. 126), sobre superfícies e corpos retangulares (Roxo, p. 35) e na página 10 do prefácio, ele expressa o seguinte:
Finalmente, um princípio que preside a todos os que precedem, o do méthodo Histórico no desenvolvimento da Mathemática, princípio pedagógico de ordem geral, por todos francamente reconhecidos, mas raramente respeitado: “ L´éducateur doit faire repasser penfant par ou ont passe sés peres; plus rapidement mais sans bruler d´étape. A cecompte, Phisteire de la science doit étre notre premier guide”. (ROXO, Vol. 1, 1929). [41]
Na década de 50 os livros didáticos, estavam de acordo com a Portaria Ministerial nº 966, de 1951[42] e outros autores importantes também elaboraram suas coleções: Ary Quintella, Algacyr Munhoz Maeder, Osvaldo Sangiorgi, Jairo Bezerra e Benedito Castrucci. Eles se basearam nas coleções anteriores de Trajano, Cecil Thiré & Mello e Souza e Jácomo Stávale para suas produções, o que tornou o ensino da Matemática estável por um longo período.
Destacando-se Júlio César de Mello e Souza que fez produções independentes com o pseudônimo de Malba Tahan, contos das Mil e Uma Noites com contexto da Matemática árabe, como o livro: O Homem que Calculava, que é uma referência, porque não dizer mundial, até os dias de hoje. Conforme D’Ambrosio: “um exemplo de alguém que foi capaz de fazer da Matemática um veículo de ensinamentos superiores de moral, de amor e de respeito pelo diferente foi Malba Tahan”.[43]
3.2. – Décadas de 60 a 80:
Livros didáticos, a partir dos anos 60 sofreram uma modernização, não só pelo nome do movimento que estava surgindo e sim porque sua editoração foi toda modificada, apresentavam figuras e cores, notas, lembretes; difundindo as novas idéias surgidas nos cursos do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM) [44]. Alguns autores chegaram apresentar em seus livros experiências feitas em sala de aula. Para Miorim,[45] “esses novos recursos editoriais forneciam elementos reforçadores para a introdução dos conteúdos modernos e das novas abordagens”.
No movimento modernista que ocorreu nas décadas de 70 e 80 pode-se perceber uma crescente manifestação de textos históricos dirigidos à prática pedagógica. Para eles essa opção era um “fio condutor” para tornar o estudo mais significativo. Mas para Jones:
A História não só pode como deve ser o fio condutor que amarraria as explicações que poderiam ser dadas aos porquês pertencentes a qualquer uma das três categorias. É na defesa dessa possibilidade que se revelaria o poder da História para a promoção de um ensino-aprendizagem da Matemática escolar baseado na compreensão e na significação. [46]
3.3. – Década de 90 até os dias de hoje:
Nos anos 90, conforme Iran Abreu Mendes,[47] “alguns livros didáticos adotados pela rede de ensino reduz-se, na maioria das vezes, a meras biografias de alguns matemáticos famosos e a algumas informações sobre o desenvolvimento cronológico da Matemática abordada”. E por mais de uma década esses livros foram intensificamente usados, tendo apenas de um ano para o outro uma “nova edição”, que na realidade somente mudou-se a cor da capa, trocou-se alguns exercícios de página, mas seu conteúdo continuou o mesmo – ainda existem esses livros e muitos professores ainda optam por eles.
Esse mesmo fenômeno aconteceu em Portugal. O Prof. Jaime Carvalho e Silva diz que a razão do retorno da História da Matemática para os livros didáticos se deu através de referências políticas do Ministério da Educação em 1991, onde os artigos fazem citações reconhecendo a contribuição da Matemática pela compreensão de problemas da humanidade: “Relacione passos da História de Matemática com a evolução da humanidade”. (p.11) [48]
No Brasil, pensando na necessidade de mudança os autores dos PCN, elaborados a partir de 1998, contestaram os livros didáticos com cunho tradicionalista, sem citar nomes e autores, incentivando a utilização de livros que traziam temas e abordagens consideradas inovadoras: como Resolução de Problemas, Temas Transversais, Interdisciplinaridades, Jogos, Inclusão Digital e, também a utilização da História, como elementos essenciais para um bom trabalho por parte dos professores.
Nesse parágrafo está descrita a indicação feita pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD 2005) para uso de livros didáticos em sala de aula com alunos de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. Dos cinco livros indicados no catálogo da Editora FTD, três deles ressaltam a dedicação dos autores com o tema História da Matemática, são eles:
1o. A nova edição da Coleção “A Conquista da Matemática”. [49] Nos seus quatro volumes, apresenta, como destaque, a seção História da Matemática, que serve de base para a construção do pensamento matemático.
2o. A Coleção “Matemática Pensar e Descobrir” [50] também traz as seções História da Matemática, Bibliografia, Leituras de apoio didático e Glossário.
3o. Na Coleção “Matemática Hoje é Feita Assim” [51] há ênfase na resolução de problemas e na abordagem histórica.
Além da Editora FTD outras editoras procuraram seguir as novas tendências, é o caso da Editora IBEP com os livros da Coleção BIG MAT; [52] livro que foi usado especificamente na Escola Municipal Antonio D´Ávila – 2005, em Cidade Tiradentes , trazem na capa como subtítulo – Matemática: História-Evolução-Conscientização, onde os autores buscam através da História da Matemática, mostrar a evolução do aprendizado do ser humano e conscientizá-lo da importância cultural e ética da disciplina, misturando de forma sensata exercícios de álgebra e exercícios que estimulam a pesquisa histórica. Nessa coleção os autores apresentam-se, assim:
Caro Estudante:
É com muita satisfação que lhe apresentamos esta coleção de Matemática, fruto de um trabalho de longos anos em sala de aula.
Por meio da leitura de textos Históricos você se sentirá estimulado a ampliar seus conhecimentos com pesquisas e leitura de livros, jornais, revistas etc.
Resolvendo as situações-problema, você perceberá como as idéias Matemáticas evoluíram e estão presentes no dia-a-dia.
Esperamos estar contribuindo para a formação de um cidadão crítico, participativo e, acima de tudo, ético em suas inter-relações sociais.
(OS AUTORES).
Da Editora do Brasil temos, os livros, dos irmãos Lannes, [53] que apresenta uma Matemática muito semelhante a da coleção anterior.
Caro Aluno:
Preparamos esta coleção pensando em tornar seu curso interessante e agradável. Para isso, integramos a Matemática com outras áreas do conhecimento, como a Biologia, a Astronomia, a História etc., propondo situações-problema que envolvem conteúdos dessas áreas e tornando a Matemática mais atraente e fácil de ser entendida. [...] Resumindo, estudando Matemática, aprendemos mais do que Matemática.
(OS AUTORES).
A aluna Aline Pedroso Betarelli, orientanda do Prof. Dr. Othon Cabo Winter da Feg/UNESP apresentou uma pesquisa [54] mostrando alguns dados estatísticos do PNLD 2005, que revelou que o Fundo de Desenvolvimento da Educação analisou 129 coleções de 5a. a 8a. Séries de Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História e Geografia, e destes 92 foram aprovados.
De Matemática foram aprovadas 23 coleções, onde apenas nove delas apresentavam textos históricos. Outro dado interessante que ela percebeu é que a maioria dos livros coloca bastantes informações na 5a. Série e conforme vão avançando as séries vão, diminuindo as informações históricas.
Conforme essa pesquisa, os livros que apresentam contextos históricos em todos os volumes são:
a) Coleção “Matemática e Realidade” de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado, da Editora Atual;
b) A outra coleção é “Big-Mat – Matemática, História e Evolução”, que já foi apresentada nos parágrafos anteriores.
Mesmo tendo essas opções de livros que abordam esse tema e estimulam o uso da História da Matemática, o que vejo na realidade é a escolha de livros que trazem uma Matemática tradicional, com maior número de conteúdos algébricos e um pouco de geometria, com bastante exemplos e lista de exercícios.
Espero que esse trabalho sensibilize alguns professores para a “grande mudança” e contribua para que o professor não deva se prender somente a um livro. Mesmo que ele tenha sido escolhido pela maioria em sua escola, siga seus instintos, se o livro que você escolheu foi diferente do que a maioria o fez, use-o como atividades complementares, paralelamente ao livro de escolha escolar. Use também livros paradidáticos como, por exemplo: aqueles da Coleção “Vivendo a Matemática” de Nilson José Machado e Luís Marcio Imenes (2000); a Coleção “Contando a História da Matemática” de Oscar Guelli (1995); a Série “Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula” – traduzidos por Hygino H. Domingues (1992) e até mesmo trechos da Bíblia podem ser usados. Nela você encontra uma leitura que fala da relação da população local com o dinheiro e com medidas. Algumas Bíblias trazem no seu corpo mapas e tabelas de verbetes usados naquela época. Vide: Êxodo 27-1, Crônicas I 29-7, Esdras 8-26, entre outros.
Outras fontes importantes, principalmente para futuros professores, são amostras de trabalhos encontrados na internet de diversas maneiras: Anais de congressos e simpósios; Dissertações encontradas nos link das universidades como: USP, UNICAMP, UNESP, entre outras; Textos digitalizados de grandes autores da Matemática: Ubiratan D´Ambrosio, Antonio Carlos Brolezzi, autores portugueses como Sebastião e Silva, grupo de estudos nacionais e internacionais e Biografias.
Parte das aulas será transformada em outra forma de aprendizagem com mais informações, pesquisas e comunicação. Assim, o professor dará ênfase à sua tarefa de coordenador, facilitador. Há assim dois tipos fundamentais de aula: a de informação e a de pesquisa. Os temas são introduzidos e coordenados pelo professor, mas pesquisada pelos alunos individualmente ou em equipe. A Internet dará grande auxílio aos alunos em suas pesquisas. (MORAN, MASETTO & BEHRENS) [55]
Maria Fernanda Estrada escreveu para a revista portuguesa: “Educação e Matemática”, Nº. 27, 3o. Semestre de 1993, um artigo intitulado: A História da Matemática no ensino da Matemática, descrevendo a importância das biografias de matemáticos no ensino da Matemática:
O papel das biografias deve ser em primeiro lugar o de tornar os matemáticos de que falamos, pessoas vivas, porque se libertam “da lei da morte”, como diz o poeta. Apresentá-los com os seus sucessos e fracassos, grandeza e pequenez, duas faces finais de todos os homens de todos os tempos. [...] Através de biografias poder-se-á até introduzir o dinamismo que vem da evolução da idéias, da sua gênese e sucessivas aproximações, até a forma final que muitas vezes aparece com pessoas diferentes em lugares diferentes. [...] As biografias dão ainda a possibilidade de introduzir o contexto social e cultural dos diferentes autores e ver a Matemática como ciência viva e interactiva, que tenta responder às questões duma época e põem outras. (p. 18)
Outra fonte que gostaria de sugerir são os pôsteres expostos no 1o. SPHEM [56] realizado no IME-USP/SP, eles são encontrados no site: www.ime.usp.br/~sphem/ documentos/sphem-posteres.pdf. Os pôsteres abordam temas variados do uso da História da Matemática na Educação Matemática, como:
a) A pesquisa histórica e os debates sobre demonstração Matemática de João Acácio Busquini – FFCL N.S. Aparecida. (p. 36-43);
b) Contribuições para a pesquisa histórica na formação inicial do professor por meio do relatório-avaliação [57] de Cristiane Coppe de Oliveira – FEU/SP Universidade de Guarulhos. (p. 52-59);
c) A História da Equação de 2o. Grau como recurso didático na Educação básica de Érica Valéria Alves & Jacelma Gonçalves Oliveira – Universidade Santa Cecília. (p. 60-62);
d) Conteúdos de geometria no ensino médio: um olhar histórico sobre propostas curriculares de Daniel Romão da Silva & Gustavo Ignácio Duarte – IME-USP/SP. (p. 63-65);
e) História da Matemática: uma aliada para o ensino e aprendizado das equações algébricas de Denise Benino Dourado Ribeiro – Universidade de Guarulhos. (p. 66-73);
f) A História da Matemática no livro didático do ensino fundamental de Aline Pedroso Betarelli – Feg/UNESP. (p. 74-78);
g) Aritmética antiga através de artefatos: uma proposta didática de Rosalva Lopes de Oliveira & Bernadete Morey – IFESP/RN e UFRN. (p. 93-99).
CAPÍTULO 4
O QUE ALGUNS EDUCADORES, PSICÓLOGOS E PENSADORES FALAM SOBRE O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
[...] Relações entre História e Educação Matemática [...] essa interligação se fortalece a partir do momento que o professor de Matemática tem o domínio da História do conteúdo que ele trabalha em sala de aula.[58]
Hoje, qualquer que seja a fala sobre preservação, traduz um alto conhecimento globalizado e prende a atenção dos ouvintes.
A tentativa de preservação do conhecimento que houve no passado, também vem sendo discutida exaustivamente no campus da Educação Matemática, em todos os níveis.
O estudo da História na Matemática vem como uma tendência que desperta o interesse dos alunos e inspira os professores em implantarem novos projetos educacionais, para que os alunos tenham um pleno conhecimento, seja ele: simbólico; retórico ou operacional.
A relação entre a História e o ensino da Matemática representa um assunto de grande atualidade para as pesquisas em Educação Matemática. Particularmente são problemas inerentes à natureza da Matemática e que se revelam no processo de aprendizagem, no qual se espera – algumas vezes diretamente – soluções pra problemas didáticos: por meio de conhecimentos tirados da História da Matemática. É o conceito de ‘obstáculo epistemológico’ que apresenta um foco maior para transpor tais conhecimentos no ensino. (p. 26)
As falas abaixo mostram um pouco como a História da Matemática vem influenciando algumas áreas de pesquisas e como ela vem tomando cada vez mais espaço no contexto estudantil, ao longo de alguns anos.
[...] Segundo esses autores a inclusão de textos dessa natureza tinha em vista “despertar no jovem estudante o interesse pelos diversos fatos da História da Matemática e pela vida dos grandes sábios que colaboram no progresso dessa ciência”. [60] (C.T. e M.S. - Mathematica, 1º anno, 1931, p. XV)
Todo o professor ou estudante de Matemática devia saber a História da Matemática. Existem muitas razões, mas talvez a mais importante é que ela é uma guia para a pedagogia. (KLINE, 1985) [61]
Todavia, com base na crença de que o processo de transformação de qualquer ciência na História obedeceria a uma certa lógica interna, a tarefa que se colocaria aos professores de ensino-aprendizagem da Matemática seria a de se “buscar um equilíbrio verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a História de sua evolução conceptual, enfatizando a importância do segundo”. (ZÚÑIGA, 1988, p. 34) [62]
O papel da História da Matemática é fundamental para estimular o espírito dos alunos, para o desenvolvimento do espírito crítico e ainda para que o aluno sinta e se aperceba das idéias subjacentes às teorias e os teoremas já acabados que aprende. (ESTRADA, 1993)
Acreditamos que se o ensino da Matemática fosse fundamentado na concepção da Matemática como conhecimento historicamente construído e que se rescontrói a cada instante, despertaria mais a atenção e o interesse dos alunos, suscitando prazer naquilo que está aprendendo. A união entre ensino, paixão e prazer estaria assegurada. (CATARINA VITTI, 1994)
1) Como forma de sabedoria: um conhecimento que se baseia na busca de relações que ajude a compreender o mundo a partir de sua complexidade;
2) Como referência epistemológica e operacional: estabelece que se devem abordar os problemas que vão além da compartimentação disciplinar (o pensamento é restabelecido como problema antropológico e histórico);
3) Como concepção do currículo: desenvolve estratégias de indagação, interpretação e apresentação do processo seguindo ao estudar um tema. (HERNANDEZ, FERNANDO, 1995)
Ao nosso ver, a ordem lógica mais adequada para o ensino de Matemática não é a do conhecimento Matemático sistematizado, mas sim aquela que revela a Matemática enquanto ciência em construção. O recurso á História da Matemática tem, portanto, um papel decisivo na organização do conteúdo que se quer ensinar, iluminando-o, por assim dizer, com o modo de raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir. (BROLEZZI, A. C., 1997 ) [64]
As dificuldades, os obstáculos estão presentes em todas as áreas educacionais, mas um momento de renovação é necessário, e acredite, é possível. “Depende de nós”, como já dizia Ivan Lins, ou o que dizem Paulo Coelho e Celso Antunes.
A felicidade às vezes é uma benção – mas geralmente é uma conquista. O instante mágico do dia nos ajuda a mudar, nos faz ir a busca de nossos sonhos. Vamos sofrer, vamos ter momentos difícies, vamos enfrentar muitas desilusões, mas tudo é passageiro, e não deixa marcas. E no futuro, podemos olhar pra trás com orgulho e fé... (PAULO COELHO)
O professor é o novo marinheiro dos tempos que chegam. No momento em que se descobrem as verdades das inteligências múltiplas e se configura o novo papel da Educação, centrado em um aluno a ser descoberto em sua extrema singularidade, emerge como o mais importante profissional do século, todos os que têm o extremo privilégio de fazer surgir, deste novo aluno um novo ser humano. Ser professor, hoje é ser vítima de uma profissão difícil e mal compreendida, contudo com a extrema nobreza e dignidade daqueles que tem o privilégio único de anunciar os novos tempos. (CELSO ANTUNES)
Os estudos históricos são muito importantes, em qualquer área do conhecimento, pois como assinala Machado (2000): (Apud PAMPLONA, 2005, 1o. SPHEM – USP/SP)
[...] A construção do conhecimento nunca é definitiva. Nunca se pode fundar em definições fechadas. A rede encontra-se em permanente estado de atualização. Para apreender o sentido das transformações, o caminho é um só: é preciso estudar História. Ninguém pode ensinar qualquer conteúdo, das ciências às línguas, passando pela Matemática, sem uma visão histórica de seu desenvolvimento. É na História que se podem perceber as razões que levaram tal ou qual relação, tal ou qual conceito, a serem constituídos, reforçados ou abandonados. (p. 103).
Pamplona em seu Pôster apresentado no 1o. SPHEM, realizado em 2005 no campus da USP/SP, diz que: “O uso da História no ensino é um caminho que se coloca a partir do empenho para uma melhor formação do futuro professor”.
Bachelard [65] sugere que: “para chegar a uma determinada informação, o professor deve pensar todo o processo que foi feito para se chegar àquela informação e discuti-lo com seus alunos, de forma que eles tenham condições de criticar o processo”.
CAPÍTULO 5
UM OLHAR MAIS ABRANGENTE DOS GRUPOS DE PESQUISAS SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Algumas pessoas gostam de dançar, outras não. Há quem vibre ao dirigir automóveis e quem sinta sono na direção. Como tudo na vida, há quem goste de Matemática e quem não a veja com bons olhos. Mas, para gostar de alguma coisa é preciso conhecê-la. É preciso experimentá-la e ter a chance de sentir algum prazer nesse contato. [66] (MACHADO, 2000)
Mesmo tento várias citações de Miguel & Miorim (2004) e D´Ambrosio (1999) em nossa pesquisa, dedico esse capítulo especialmente a esses três mestres, descrevendo aqui alguns trechos que demonstram a visão dos autores em relação ao uso da História na Educação Matemática. Esses mestres merecem um capítulo à parte, o que farei a seguir.
Inicio esse capítulo com os dizeres de Pamplona (2005), que enfatiza a dedicação, em especial, de Miguel (1997), em analisar as razões apontadas por vários autores para se utilizar ou não a História da Matemática no ensino.
Miguel (1997), listou doze (12) argumentos reforçadores das potencialidades pedagógicas da História da Matemática e quatro (04) argumentos questionadores. Miguel contrapôs-se de forma convincente a cada um desses últimos mostrando-nos as grandes possibilidades pedagógicas que a História oferece. [67]
A citação acima se refere ao artigo "As potencialidades pedagógicas da História da Matemática em questão: argumentos reforçadores e questionadores", de autoria de Antonio Miguel, foi publicado na Revista Zetetiké - vol. 5 - n. 8 - julho/dezembro - 1997 - p. 73 - 105.
Nesse artigo, o autor apresenta doze argumentos reforçadores das potencialidades pedagógicas da História da Matemática, a saber:
1º) A história é uma fonte de motivação para o ensino-aprendizagem da Matemática;
2º) A história constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da Matemática;
3º) A história constitui-se numa fonte de métodos adequados de ensino da Matemática;
4º) A história é uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática;
5º) A história é um instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática e a desalienação de seu destino;
6º) A história constitui-se num instrumento de formalização de conceitos matemáticos;
7º) A história é um instrumento de promoção do pensamento independente e crítico;
8º) A história é um instrumento unificador dos vários campos da Matemática;
9º) A história é um instrumento promotor de atitudes e valores;
10º) A história constitui-se num instrumento de conscientização epistemológica;
11º) A história é um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da Matemática;
12º) A história é um instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural.
O autor do artigo também apresenta quatro argumentos questionadores, a saber:
1º) Ausência de literatura adequada;
2º) Natureza imprópria da literatura disponível;
3º) O elemento histórico é um fator complicador;
4º) Ausência na criança do sentido de progresso histórico.
5.1. - História na Educação Matemática – Propostas e Desafios.
Antonio Miguel & Maria Ângela Miorim:
Em 2004, Miguel ao lado de Miorim no livro: História na Educação Matemática – Propostas e Desafios, enfatiza seus argumentos listados no artigo de 1997 e amplia ainda mais nossos conhecimentos, mostrando propostas a serem trabalhadas com o uso da História na Educação Matemática.
Na introdução do livro: História na Educação Matemática – Propostas e Desafios (2004), os autores destacam que o interesse pelas questões históricas só vem crescendo, não só no Brasil, mas também no mundo e que o estudo da História da Matemática é tão amplo que se abriu vários campos de pesquisa para esse tema.
No interior deste último campo, isto é, o da História na Educação Matemática – campo este que constitui o objeto de nossa preocupação neste livro – incluímos todos os estudos que tomam como objeto de investigação os problemas relativos às inserções efetivas da História na formação inicial ou continuada de professores de Matemática; na formação Matemática de estudantes de quaisquer níveis; em livros de Matemática destinados ao ensino em qualquer nível e época; em programas ou propostas curriculares oficiais de ensino da Matemática; na investigação em Educação Matemática , etc. (p. 11).
No capítulo I, encontramos argumentos que a preservação de certos métodos históricos vem sendo empregada desde o século XVIII. Miguel & Miorim destacam que Clairaut (1892), em sua obra usou a História da Matemática para construir seu método para o ensino da Matemática.
O ponto de vista de que a História constitui uma fonte de métodos adequados para a abordagem pedagógica de certas unidades ou tópicos da Matemática escolar tem se manifestado na literatura, pelo menos, desde o século XVIII (p. 33).
Como ocorre no texto de Clairaut, é possível considerar que a História pode ser um elemento orientador na elaboração de atividades e situações-problema, de seleção e seqüenciamento de tópicos de Matemática em livros didáticos, se que elementos Históricos sejam explicitamente colocados. Da mesma forma, essa participação implícita da História pode ser percebida na maneira como tópicos Matemáticos são selecionados e seqüenciados em propostas para o ensino de Matemática em programas oficiais de ensino. (p.44).
Ainda no capítulo I, Miguel & Miorim, discutem cada argumento questionador, os quatro últimos itens citados anteriormente (p. 47), acreditando que esses argumentos não devem ser encarados como obstáculos e sim como incentivadores de novas pesquisas.
O primeiro argumento afirma que o uso da História da Matemática é problemático devido à ausência de literatura adequada, Miguel & Miorim contrapõem-se dizendo:
Pensamos que esse argumento, levantado por Grattan-Guinness (1973, p. 445) e Byers (1982), menos do que um entrave ao desenvolvimento das relações entre História e pedagogia, deveria ser entendido como um apelo à necessidade de constituição de núcleos de pesquisa em História da Matemática dos quais façam parte historiadores, matemáticos e educadores matemáticos e outros profissionais que possam contribuir para a elaboração de reconstituições esclarecedoras de épocas, temas, situações e biografias. (p. 63)
O segundo argumento, afirma que a natureza da literatura histórica disponível a torna imprópria à utilização didática, e na opinião de Miguel & Miorim temos que:
[...] a existência de lacunas ou silêncios apontados por Byers não se coloca como problema exclusivo aos historiadores da matemática, mas constitui parte integrante do trabalho de qualquer historiador de oficio e talvez essas lacunas não sejam impermeáveis às reconstituições. (p. 64)
O terceiro argumento, o elemento histórico como um fator complicador no ensino da Matemática, foi exposto por Miguel & Miorim, da seguinte maneira: “Em contrapartida, onde acrescenta que o que se perde de tempo e energia, ganha-se em significado, sentido e criatividade”. (p. 64)
O último dos quatro argumento tem como principais defensores, Grattan-Guinness (1973) e Legrand (1974), que utilização de mecanismos afetivos e psicológicos para alegar que uma criança não tem passado, pois necessitam de um determinado período de vivência (fase adulta) para criarem a possibilidade de examinar e apreciar seu passado histórico, mas Miguel & Miorim: [68]
Pensamos, porém, que esses obstáculos levantados pelos argumentos bastante pertinentes a que fizemos referência não devem constituir fatores impeditivos á iniciação da construção do pensamento histórico ainda nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Mais do que isso, pensamos que somente essa iniciação escolar pedagogicamente adequada constitui a condição necessária, ainda que não suficiente, para a superação gradativa desses obstáculos. (p. 67)
Miguel & Miorim, ressaltam a importância da desmistificação da Matemática, usando a História da Matemática, e como ela se torna essencial desde a formação de professores até a aplicação dos objetivos pedagógicos a serem alcançados por esses professores com seus alunos.
Além de constituir um espaço privilegiado para a seleção de problemas, os Parâmetros consideram várias outras funções que a História poderia desempenhar em situações de ensino, tais como o desenvolvimento de atitudes e valores mais favoráveis diante do conhecimento Matemático, o resgate da própria identidade cultural, a compreensão das relações entre tecnologia e herança cultural, a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos Matemáticos, a sugestão de abordagens diferenciadas e a compreensão de obstáculos encontrados pelos alunos. (p. 52)
Entendemos que Histórias podem e devem constituir pontos de referência para a problematização pedagógica da cultura escolar e, mais particularmente, da cultura Matemática e da Educação Matemática escolares, desde que sejam devidamente constituídas com fins explicitamente pedagógicos e organicamente articuladas com as demais variáveis que intervêm no processo de ensino-aprendizagem escolar da Matemática. (p. 156)
No capítulo II são apresentados quadros sínteses das principais características de linhas de pensamentos sobre o campo de investigação da História na Educação Matemática. O interessante que mesmo na linha da ciência como na psicológica e filosófica, a ordem cronológica, evolutiva traduz a importância da História nas aplicações de conteúdos, pois esses fatos ficam impregnados em nossa memória.
Quadro 1: Perspectiva Evolucionista Linear – Darwin e Ernest Haeckel.
Concepção de Aprendizagem: Aprender Matemática é recapitular progressiva e cronologicamente os seus objetos de estudo pré-formados no tempo.
Porque recorrer à História no ensino e/ou na pesquisa? Identificar a ordem cronológica de surgimento histórico dos tópicos matemáticos que deverão constituir-se em objetos de ensino-aprendizagem no contexto escolar. (p. 80)
Quadro 2: Perspectiva Estrutural – Construtivista Operatória – Jean Piaget e Rolando Garcia.
Concepção de Aprendizagem: Aprender Matemática é reconstruir pessoalmente as operações cognitivas requeridas por um objeto Matemático em seu processo de construção Histórica.
Porque recorrer à História no ensino e/ou pesquisa? Campo de possibilidade de busca de Conflitos Cognitivos e de Mecanismos Cognitivos Operatórios Específicos que promovem a passagem de uma a outra etapas do processo de construção de um objeto Matemático. (p. 90-91)
Quadro 3: Perspectiva Evolutiva Descontínua – Gaston Bachelard.
Concepção de Aprendizagem: Capacidade de construção de recursos cognitivo-conceituais otimizados, superadores de obstáculos que se manifestam no ato individual de resolução de situação-problema previamente elaborada com base em critérios bem definidos e visando a finalidades cognitivo-conceituais. Aprender Matemática é, portanto, aprender a superar obstáculos epistemológicos.
Porque recorrer à História no ensino e/ou pesquisa? Identificar os obstáculos epistemológicos que se manifestam na filogênese e na psicogênese e um objeto Matemático específico a fim de entender melhor ambos os processos. (p. 105)
Quadro 4: Perspectiva Sociocultural – Vygotsky e Leontiev.
Concepção de Aprendizagem: Capacidade pessoal de “internalizar” co-apropriar-se, entender, usar e co-produzir, através da negociação interativa, de natureza sobretudo dialógica, as significações sócio-históricas constitutivas dos objetos Matemáticos, internalização mediada por atividades pedagogicamente adequadas ao contexto cultural escolar e baseadas em cuidadosas análises epistemológicas da História.
Porque recorrer à História no ensino e/ou pesquisa? Ela é um laboratório de experiências humanas com as quais se procura dialogar através de um contraste oblíquo com as práticas pedagógicas atuais a fim de se construírem atividades didáticas para o ensino-aprendizagem escolar da Matemática. (p. 133)
Quadro 5: Perspectiva dos Jogos de Vozes e Ecos – L. S. Vygotsky, Ludwig Wittgenstein e M. Bakhtin.
Concepção de Aprendizagem: Capacidade pessoal de “internalizar” co-apropriar-se, entender, usar e co-produzir, através da negociação interativa, de natureza sobretudo dialógica, as significações e as características do conhecimentos Matemático teórico herdadas da tradição cultural, internalização esta mediada por tarefas adequadas desenvolvidas no interior de jogos de vozes e eco.
Porque recorrer à História no ensino e/ou pesquisa? A fim de se estudar o funcionamento dos jogos de vozes e ecos, cujo objetivo pedagógico não é construir um conceito ou uma solução original para um problema nem validar uma produção do estudante, mas detectar contradições entre as vozes Históricas e as dos estudantes a fim de propiciar a ampliação do horizonte cultural dos estudantes nele incorporando elementos difíceis de serem construídos através de uma abordagem tradicional ou construtivista da Matemática em sala de aula, tais como: concepções que ferem o senso comum e a intuição; métodos que ultrapassam os limites da experiência cotidiana do aluno; tipos especializados de organização do discurso científico e Matemático, etc. A História é, portanto, vista como o instrumento ideal para se acessar aquelas características do conhecimento científico ou teórico que não se manifestam no conhecimento construído espontaneamente fora da escola. (p. 141-142)
Os autores formularam a concepção de uma Matemática historicamente vetorizada e quais os papéis que ela deve influenciar. “Em primeiro lugar, um papel interdisciplinar; segundo lugar, um papel didático-metodológico; terceiro lugar, papel psicológico motivacional e quarto lugar, um papel político-crítico”. (p. 155)
Uma História da Matemática pedagogicamente vetorizada poderia prestar grande auxílio aos professores intencionados em se contrapor a uma tal tendência tecnicista e aparentemente neutra do ensino. (p. 159)
A problematização dessas investigações deve ser vista pelos olhos político-filosófico, tomando uma forma multidimensional.
Com base nessas investigações analíticas, os futuros professores passam a perceber que a Matemática e a Educação Matemática escolares passaram, em nosso país, por mudanças qualitativas consideráveis que acabaram por excluir tópicos Matemáticos tradicionais, incluir novos tópicos considerados relevantes, alterar objetivos, métodos, formas tradicionais de abordagens de conceitos e campos da Matemática escolar, bem como a forma de ordenar tópicos, concepções de pré-requisitos, etc. (p. 174)
Suas considerações finais consistem em uma lição de ensino-aprendizagem.
A qualificação do professor consiste em conhecer o mundo e ser capaz de instruir os outros acerca deste, porém sua autoridade se assenta na responsabilidade que ele assume por este mundo. [...] A função da escola é ensinar às crianças como o mundo é, e não instruí-las na arte de viver. Dado que o mundo é velho, sempre mais do que as próprias crianças, a aprendizagem volta-se inevitavelmente para o passado, não importa o quanto seja transcorrida no presente. (Arendt, 1997, p. 239 e p. 246) [69]
5.2. - A interface entre História e Matemática: Uma visão histórico-pedagógica.
Ubiratan D´Ambrósio (1999):
D’Ambrosio em todos os seus livros e textos mostra uma preocupação com o social e com a formação de educadores, e sempre ressalta que o pleno conhecimento é primordial. Ele acredita que a História da Matemática, sendo bem utilizada, proporciona o elo entre o social e o conhecimento, seja ele do professor ou do aluno.
[...] Ninguém contestará que o professor de Matemática deve ter conhecimento de sua disciplina. Mas a transmissão desse conhecimento através do ensino depende de sua compreensão de como esse conhecimento se originou, de quais as principais motivações para o seu desenvolvimento e quais as razões de sua presença nos currículos escolares. Destacar esses fatos é um dos principais objetivos da História da Matemática [...]
[...] A alternativa que proponho é orientar o currículo Matemático para a criatividade, para a curiosidade e para crítica e questionamento permanente, contribuindo para a formação de um cidadão na sua plenitude e não para ser um instrumento do interesse, da vontade e das necessidades das classes dominantes. A invenção Matemática é acessível a todo indivíduo e a importância dessa invenção depende do contexto social, político, econômico e ideológico [...]
Um ícone apresentado por D´Ambrosio (1999) é Hans Freudenthal, que dedicou-se intensamente á Educação Matemática, onde suas opiniões tem obtidos bons resultados.
[...] Hans Freudenthal, [70] reconhece que: “a História da Matemática deveria ser conhecimento integrado, mais guiado pela História que pela Matemática, analisando mais os processos que os produtos” [...]
D´Ambrosio expõe sua opinião sobre para quem e para que serve a História da Matemática, escrevendo algumas finalidades, que para ele, as principais são:
1. Para situar a Matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução;
2. Para mostrar que a Matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de Matemática desenvolvidas pela humanidade;
3. Para destacar que essa Matemática teve origem nas culturas da antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio;
4. Para saber que desde então a Matemática foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas, se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento científico, tecnológico econômico, e avaliar as conseqüências sócio-culturais dessa incorporação [...]
Como sugestões para os professores, o que se pode fazer da História nas aulas de Matemática.
[...] A História da Matemática no ensino deve ser encarada, sobretudo pelo seu valor de motivação para a Matemática. Deve-se dar curiosidades, coisas interessantes e que poderão motivar alguns alunos. Outros alunos não se interessarão. Mas isso é natural. Alguns gostam de esporte, outros não gostam. Alguns gostam de música, outros não gostam. Alguns gostam de camarão, outros não gostam. Com Matemática não é diferente [...]
[...] Outra maneira de se praticar História no ensino é fazer acompanhar cada ponto do currículo tradicional por uma explanação do contexto sócio-econômico e cultural no qual aquela teoria ou prática se criou, como e porque se desenvolveu. Isso é muito freqüente nos cursos de História da Matemática [...]
[...] É importante dizer que não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir História da Matemática em seus cursos. Se em algum tema o professor tem uma informação ou sabe de uma curiosidade Histórica, deve compartilhar com os alunos. Se sobre outro tema ele não tem o que falar, não importa. Não é necessário desenvolver um currículo, linear e organizado, de História da Matemática. Basta colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar muito interesse nas aulas de Matemática. E isso pode ser feito sem que o professor tenha se especializado em História da Matemática [...]
Na conclusão deste texto, D’Ambrosio (1999) desafia o professor a responder qual o valor formativo de ensinar alguns conteúdos matemáticos, por exemplo: “calcular a raiz quadrada de 127.856 ou efetuar a soma de 11/15 + 7/12”. Mas explica que, se esses conteúdos fossem mostrados como se fazia na época, o porque foi usada, tornaria a Matemática além de mais interessante, ela passaria a ter um aspecto mais cultural, crítico e lúdico, como vemos em suas colocações abaixo:
[...] Em vista disso, vejo dois aspectos que deveriam ser destacados no ensino da Matemática:
O aspecto crítico, que resulta de assumir que a Matemática que está nos currículos é um estudo de Matemática Histórica? E partir para um estudo crítico do seu contexto Histórico, fazendo uma interpretação das implicações sociais dessa Matemática. Sem dúvida isso pode se mais atrativo para a formação do cidadão.
O aspecto lúdico associado ao exercício intelectual, que é tão característico da Matemática, e que tem sido totalmente desprezado. Por que não introduzir no currículo uma Matemática construtiva, lúdica, desafiadora, interessante, nova e útil para o mundo moderno.
O enfoque Histórico favorece destacar esses aspectos, que considero fundamentais na Educação Matemática. (Grifos do autor)
CAPÍTULO 6
PROPOSTAS DE TRABALHOS ESCOLARES QUE ABORDAM A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA SEREM USADOS EM SALA DE AULA.
Nunca ande pelo caminho traçado, pois ele conduz somente até onde os outros foram. (GRAHAM BELL) [71]
As propostas que ora sugerimos mostram os possíveis caminhos que podem ser apresentado aos alunos de todos as séries do ensino fundamental e médio.
A importância desses trabalhos é o resgate da História, da cultura, do cotidiano e principalmente o senso de organização e o despertar do interesse pelas pesquisas.
É claro que em alguns casos, necessitam de adaptação, conforme o contexto da sua escola ou lugar onde será desenvolvido.
O mais interessante é que todas as propostas abordam a necessidade de buscar a informação no seu berço, investigar, questionar e ao mesmo tempo relacioná-los ao presente e verificar a importância das respostas encontradas para interligá-las a outras disciplinas.
Nesses quatros primeiros trabalhos que vou mostrar há uma grande interação entre outras disciplinas, seja o trabalho de História, Ciências ou Português, sempre é possível uma matematização dos conteúdos pesquisados.
Tanto no trabalho sobre a História do Real e o trabalho sobre os Povos Antigos, que seria para alguns, especificamente um trabalho de História, a Matemática se encaixa muito bem.
Nesse primeiro trabalho nas aulas de Matemática peça também para os alunos pesquisarem quem inventou o dinheiro, como foi a sua evolução - desde dos Egípcios - como eles faziam seus negócios e em que a Matemática e a invenção dos números influenciaram nesse processo.
A professora Marília Dias teve a idéia original, para festejar os 75 anos do Colégio São Paulo, tradicional escola carioca. A supervisora pedagógica montou um projeto para comemorar a data traçando um paralelo entre a História do colégio, a do Rio de Janeiro e a do Brasil. Todas as classes, da 5ª série ao Ensino Médio, envolveram-se num trabalho interdisciplinar que inclui História, Português, Matemática e Ed. Artística. As turmas, divididas em grupos, pesquisaram os principais fatos Históricos (sociais, políticos e econômicos) desde 1922 até os dias de hoje, relacionado-os ao próprio cotidiano. Os professores visitaram a primeira agência do Banco do Brasil, no centro da cidade, e a Casa da Moeda. O trabalho tratou das mudanças econômicas no país – chegando até o Real – e envolveu as famílias: pais e avós emprestaram moedas antigas, que foram expostas e deram depoimentos para ajudar na elaboração de gráficos sobre a evolução da inflação e do aumento do salário mínimo.
Nesse trabalho de ciências seria bastante interessante o professor de Matemática “meter o bedelho”, se enganchar nesse projeto, pois pode pedir para os alunos pesquisarem as biografias dos inventores desses aparelhos e questioná-los se há uma relação com a evolução desses aparelhos com a evolução dos conteúdos Matemáticos da mesma época. Aproveitar na hora da elaboração dos gráficos e tabelas, ajudando-os nessa construção, e também pesquisar a origem do plano Cartesiano e outras coisinhas mais.
Sol, chuva, seca e enchentes. A previsão do tempo para turmas de 7ª e 8ª séries do Instituto de Educação São Miguel, em São Paulo , é coisa séria. Sob a orientação da professora de Geografia Irene Anfimovas os alunos ficam de olho no céu. No pátio da escola foi montada uma miniestação meteorológica com: termômetro, barômetro, pluviômetro e outros instrumentos de medição. O objetivo é fazer com que os estudantes relacionem esses conhecimentos com a paisagem e a vida das pessoas “junto com o relevo, o clima determina as formas de vegetação e a atividades humanas em geral”, destaca o professor José Roberto Tarifa, da Universidade de São Paulo (USP). O trabalho tem três etapas. A 1ª etapa é uma revisão de conceitos, como pressão e temperatura, aprendidos nas séries anteriores. Na 2ª etapa, os alunos iniciam, com o auxílio dos instrumentos meteorológicos, um levantamento diário de dados sobre o clima. Em fichas de observação, eles anotam as variações de temperatura, pressão, umidade do ar, nebulosidade e direção do vento. Por fim analisam as informações no decorrer do ano, estabelecendo relações e comparações por meio de tabelas e gráficos e preparam um relatório dos resultados.
Com apoio de um professor de História e Geografia divida a sala em grupos. Através do Mapa Mundi, com auxilio de um Atlas, pedir para o aluno desenhar e destacar os principais locais das descobertas Matemáticas, numa folha vegetal, exemplo:
a) Itália – Roma – números romanos;
b) Egito – número egípcios;
c) Paquistão – números Indo Arábicos;
d) Turquia – Mesopotâmia.
Com jornais e revistas também é possível usar a Matemática, como descreve bem o projeto abaixo. Esse trabalho auxilia na conscientização do aluno para a importância da Matemática na sociedade moderna. Pode-se também relacionar o uso dos números com sua história e evolução, bem como da escrita.
Ressaltar que, até mesmo, os números romanos sofreram alterações ao longo dos tempos.
Ressaltar que, até mesmo, os números romanos sofreram alterações ao longo dos tempos.
Notícias atuais de uma página de jornal, o aluno deve escrever um trecho dessa notícia na íntegra que ela se apresenta, depois deve escrever esse mesmo trecho só que retirando todos os números que nele aparece. Depois os alunos fazem uma análise de ambos os trechos e descrevem em forma de frase qual a importância dos números no nosso dia-a-dia.
A integração Matemática/Língua:
Na primeira página de um jornal, seu espaço mais visível, as exigências de expressão e comunicação são mais agudas do que em qualquer outra parte. Nela estão presentes os fatos mais marcantes, muitas vezes apoiados por imagens fortes, significativas, e são estabelecidas relações com as principais matérias de outras páginas ou cadernos. Ela é, então, um local privilegiado para a análise de uma das características básicas da linguagem jornalística: a integração entre a língua corrente e a linguagem Matemática, na constituição de uma verdadeira linguagem mista, utilizando-se de letras e números.
Material: primeira página do jornal que você tem em mãos.
Etapas: Analise a primeira página deste mesmo jornal. Leia cada uma das manchetes, das referências ás páginas internas, observando as fotos, os gráficos, relacionando-os com as legendas correspondentes, procurando apreender o significado da mensagem que procuram comunicar.
- Em seguida, tente distinguir e separar a língua corrente da Matemática presentes na primeira página: munido de um vidro de líquido corretor (branquinho), recubra cada um dos símbolos numéricos ou expressões Matemáticas que nela comparecem. Percorra os textos mais de uma vez; certamente você deixará escapar muitos elementos Matemáticos na primeira leitura.
- Agora tente reler a primeira página, ou o que restou dela sem os elementos Matemáticos que você eliminou. Procure perceber como a separação dificulta ou inviabiliza a comunicação, ainda que se tente substituir tais elementos por expressões verbais. Observe como a utilização conjunta de letras e números é tão natural que quase não mais nos damos conta disso.
Para as séries do Ensino Fundamental (5a. e 6a. séries), juntar o lúdico com o conteúdo é sempre bem aceito pelos alunos, um dos recursos que tem bastante funcionalidade é contar a História dos números, seus nomes e suas formas de calcular, poderá ajudar a criança, analisar, praticar e aprender todas as operações Matemáticas.
É interessante explorar a História dos Pesos e Medidas, suas padronizações no SI (Sistema Internacionais de Unidades) e compará-las com medidas utilizadas em países de língua inglesa, como USA e Inglaterra, que utilizam medidas como: Pés, Polegadas, Jardas, etc. No site: www.ipem.sp.gov.br, encontra-se a História da Metrologia e tabelas de conversão de medidas, seus múltiplos e sub-múltiplos. Ele é um bom aliado para ser utilizado como pesquisa escolar ou como instrumento de apoio ao professor.
Recorra novamente a montagem de um supermercado de mentira dentro da sala de aula e estimule o cálculo com valores monetários envolvendo centavos.[77]
Potes de iorgute, tubos de pasta de dentes, caixas de remédios, caixas de esmalte – tudo sucata. O material é trazido de casa pelas crianças, que fazem sua separação de acordo com o uso, contam quantos exemplares há de cada um e determinam seu preço. Desse modo os alunos do Jardim da Escola Projeto, de Porto Alegre (RS), assimilam os primeiros conceitos de seriação, classificação e contagem. Depois, utilizam os objetos para brincar de compra e venda num supermercado improvisado na classe. Aí, dividida em duas equipes que se revezam, uma de compradores e outra de vendedores, a turma exercita rudimentos de adição e subtração para descobrir os melhores preços e conferir se o troco dado pelo “vendedor” está correto. Exatamente como fazem a mamãe e o papai! Outras escolas ensinam as quatro operações, frações e medidas a seus alunos dos dois primeiros ciclos simulando situações de compra criadas com base nos preços encontrados nos folhetos distribuídos pelo comércio para divulgar seus produtos.
A idéia de múltiplo e divisor é conhecida desde a Antigüidade grega. Naquela época, os sábios davam tanta importância aos números que lhes atribuíram características humanas. Para você ter uma idéia, eles agrupavam os números em masculinos (ímpares) e femininos (pares). Inventaram os conceitos de números abundantes e deficientes.
Os números abundantes: um número é abundante se a soma de seus divisores próprios (não inclui o próprio número) é maior do que ele mesmo. É o caso, por exemplo, do nº 12 – D(12) = {1;2;3;4;6;12} = 1+2+3+4+6 = 16 > 12.
Os números deficientes: um número é deficiente se a soma de seus divisores próprios é menor que o próprio número. É o caso, por exemplo, do nº 15 – D(15) = {1;3;5;15} = 1+3+5 = 9 < 15.
Os gregos chamavam de números perfeitos, os números cuja soma dos divisores próprios resultavam no próprio número. É o caso dos nº 6 e 28. Confira: 6 = 1+2+3 e 28 = 1+2+4+7+14.
Atividade: Descubra quem é que? Investigue os 100 primeiros números naturais, quais deles são Abundantes, Deficientes ou Perfeitos?
Os números amigos: os gregos descobriram ainda uma curiosa relação entre os números 220 e 284. a soma dos divisores próprios de 220 é igual a 284, e a soma dos divisores próprios de 284 é 220. Pitágoras chamou os números que tem esta propriedade de números amigos.
Verifique se 220 e 284 são realmente amigos.
Para o Ensino Fundamental (7a. e 8a. séries) ou Ensino Médio, os trabalhos podem exigir uma maior elaboração e assuntos mais complexos como: O Triângulo de Pascal e o Crivo de Erastóstenes ou pesquisas sobre: relação da numeração dos calçados com o tamanho do pé, cálculo do dia da páscoa no calendário – Método de Gauss. Os dois exemplos abaixo mostram como alguns desses temas que citei, podem ser utilizados em sala de aula.
“Formemos um quadro de números inteiros segundo a seguinte regra”:
Escrevemos o algarismo 1, que supomos precedido e seguido de zeros; por baixo de cada algarismo escrevemos sua soma com o algarismo precedente. O quadro assim obtido e que se chama triângulo aritmético de Pascal é o seguinte:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Mostre que:
1º Qualquer número é igual à soma dos que se acham sobre a uma paralela à hipotenusa, subindo a partir do que se acha sobre ela até o número 1 da primeira coluna; assim 56 = 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1;
2º A soma de cada linha é igual ao dobro da soma da linha precedente;
3º Em cada linha a soma dos termos de ordem par é igual à dos de ordem ímpar.
(Apud Roxo, 1929, p. 84)
Foram feitas, por nós, algumas alterações do texto original de Roxo, para uma melhor compreensão do leitor.
Vejamos como se pode fazer uma lista de todos os números primos menores que 100.
Escrevemos todos números em sua ordem natural até 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Começando de 2, exclusive, riscamos todos os números de 2 em 2 e assim suprimimos os múltiplos de 2. o número primo imediato é 3; riscamos os números de 3 em 3 e assim suprimos todos os múltiplos de 3. alguns desses que são também múltiplos de 2 já estavam riscados. A partir do 5, riscamos os números de 5 em 5 e assim por diante...
Esse processo é conhecido como Crivo de Erastothenes, nome do Matemático grego que descobriu no 3º século a.C.
Desse modo, verifica-se que os números primos inferiores a 100 são:
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97. (Apud Roxo, 1929, p.266)
6.9. – Aritmética Maya.
Esta proposta de trabalhar com os Números Maya é de Leonel Morales Aldana, Guatemala, que apresentou esse texto na Reunião do HPM que foi realizado em Blumenau-Brasil em 1994. A utilização dos Números Maya, como os Números Romanos, Egípcios, etc., mostra a importância de revelar para os alunos os costumes de uma outra cultura – EtnoMatemática – e poder analisar todos os aspectos, bons ou ruins dessas escritas em relação à numeração Indo Arábica que é usada hoje.
O sistema de numeração Maya utiliza 3 símbolos, o ponto “.”, a barra “_” e uma concha para representar o zero.
Leonel Morales traz alguns exemplos de problemas que podem ser repassados em sala de aula, esses exemplos foram extraídos do El Libro de los Libros de Chilam Balam, traduzido para o espanhol por Alfredo Barrera Vázquez & Silvia Rendón, as soluções desses problemas podem ser apresentadas tanto na vertical como na horizontal como mostram os exemplos.
6.10. – O Método de multiplicação e divisão egípcio.
Com os mesmos fins da proposta anterior, trago essa última. Essa proposta de utilização da História da Matemática foi sugerida por Zuffi & Feliciano (2004, 2005) na Revista da Educação Matemática de Nos. 9-10, eles dizem:
O objetivo a que nos propomos neste artigo é o de usar o método de multiplicação e divisão egípcio, contextualizado historicamente, para auxiliar os alunos a compreenderem melhor os sistemas de numeração decimal e binário. Este método pode ser discutido nas últimas séries do Ensino Fundamental (em níveis mais elementares), no Ensino Médio, ou mesmo em cursos de formação superior para professores que ensinam Matemática, a fim de se aprofundar a possibilidade de decomposição de um número, representando no sistema posicional decimal, em parcelas de potências de 2, como forma de representação binária. [...] Dentro da proposta de interdisciplinaridade, incentivada pelos atuais PCN (Brasil, 1997, 1998), seria interessante a apresentação de filmes sobre a história egípcia e uma discussão conjunta com os professores de História e Geografia, sobre detalhes desta civilização e da região em que habitavam.
a) Multiplicação Egípcia: x.y
1. Escolhemos dois números inteiros, x e y, a serem multiplicados.
2. Escolhemos qual dos números será multiplicado pelo outro (y, por exemplo).
3. Começando do número 1, fazemos duplicações até que a última destas exceda o primeiro número (no caso, x).
4. Fazemos uma tabela com duas colunas contendo, de um lado (para ilustrar, escolhemos o esquerdo), tais duplicações e, do outro, as duplicações do número escolhido no item 2 (y).
5. Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados dêem x.
6. Tomamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos. O resultado da soma é o valor da multiplicação.
Exemplo: 13 x 9
1 | 9 |
2 | 18 |
4 | 36 |
8 | 72 |
1. Na coluna da esquerda a partir do 1 duplicamos seu valor até obtermos o número que não ultrapasse 13. Paramos no 8 pois o dobro de 8 é 16 e ultrapassa 13.
2. Na coluna da direita colocamos o multiplicador do 13 que é o 9 e suas respectivas duplicações, até preencher todas as linhas correspondentes da coluna da esquerda.
3. Os números somados que dão 13 são: 1, 4 e 8.
4. Os números correspondentes na coluna da direita são: 9, 36 e 72.
5. O resultado da multiplicação então é: 9 + 36 + 72 = 117.
b) Divisão Egípcia: a:b
1. Faremos a divisão a:b, dados dois números inteiros a e b.
2. Dobraremos o divisor b sucessivamente, até que a última duplicação exceda a.
3. Começando do número 1, fazemos sucessivas duplicações.
4. Fazemos uma tabela com duas colunas contendo, de um lado tais duplicações de 1 e, do outro, as duplicações de b.
5. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados dêem a. Caso isto não seja possível, tomamos a soma mais próxima de a, de modo que esta não exceda a.
6. Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e também os somamos.
7. O resultado da soma é o valor da divisão.
8. No caso da soma não exata, o resto passa a ser a diferença entre a e a soma encontrada no item 5.
Exemplo 1: 184 por 8;
1 | 8 |
2 | 16 |
4 | 32 |
8 | 64 |
16 | 128 |
1. Na coluna da direita a partir do 8 duplicamos seu valor até obtermos o número que não ultrapasse 184. Pois o dobro de 128 é 256 que ultrapassa 184.
2. Na coluna da esquerda a partir do 1 duplicamos, fazendo sucessivas duplicações, até que preencha todas as linhas correspondentes da coluna da direita.
3. Os números que somados dão 184 são: 8, 16, 32 e 128.
4. Os números correspondentes na coluna da esquerda são: 1, 2, 4 e 16.
5. O resultado da divisão então é: 1 + 2 + 4 + 16 = 23.
Exemplo 2 – Divisão inexata: 132 por 9;
1 | 9 |
2 | 18 |
4 | 36 |
8 | 72 |
1. Na coluna da direita a partir do 9 duplicamos seu valor até obtermos o número que não ultrapasse 132. Paramos em 72, pois o dobro de 72 ultrapassa 132.
2. Na coluna da esquerda a partir do 1 duplicamos, fazendo sucessivas duplicações, até preencher todas as linhas correspondentes da outra coluna.
3. Os números que somados dão mais próximo de 132 são: 72 + 36 + 18 =
126.
4. Os números correspondentes na coluna da esquerda são: 2, 4 e 8, que
somados dão 14.
5. O resultado da divisão então é: 14.
6. Como a soma do item 3 não foi 132, temos que a divisão é realmente
inexata com resto 6 = 132 – 126.
Após estas discussões, os alunos poderão trabalhar com outros exemplos e justificar o método da divisão, como operação inversa da multiplicação. Isto fica bem claro no método egípcio, quando a tabela do lado a ser somado é o oposto do lado da multiplicação, uma vez que o resultado da divisão a:b é o número que multiplicado por b dá a, exatamente o procedimento inverso do que foi feito na multiplicação.
Ainda, caberia ao professor fazer um fechamento do assunto, posteriormente, comparando os métodos egípcio e usual (no sistema posicional decimal) e complementando sobre a representação binária de um número.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A pesquisa em Educação Matemática cobre uma variedade de temas, dentre eles estão estratégias de ensino tais como a modelagem, a investigação, o ensino via projetos, a História da Matemática e muitas outras. Todas as abordagens são importantes visto que no uso de várias delas há uma complementação de informações que propicia a compreensão dos conceitos. Um certo tipo de informação sobressai mais em uma abordagem do que em outra e, dessa forma, ela se torna mais apropriada a interpretação de um determinado fenômeno. Assim, nenhuma abordagem deve ser considerada intrinsecamente melhor que outra, nenhuma em particular deve ser vista como sendo aquela que resolve todos os problemas da Educação Matemática. (PAMPLONA, 2005)
Acredito ter chegado ao fim dessa monografia com um grande alívio, através de tudo que li e pesquisei, justo eu que não tinha o hábito de leitura – virei uma “rata de livraria”, algumas inquietações foram sanadas, e chego a conclusão que a História da Matemática é uma forte aliada para a aplicação de conceitos, trazendo um aprendizado significativo dos conteúdos matemáticos. Vejo hoje a falta que me fez em minha formação uma abordagem histórica dos conteúdos e a própria História da Matemática; sempre tive curiosidade, principalmente das biografias, não é à toa que meu filho chama-se Tales; é o amor à Matemática, em especial, a este matemático que foi o aluno que superou o mestre.
Já estou começando encaixar os aspectos históricos nas minhas aulas, pois como falei no início dessa monografia também não usava História da Matemática, e percebi principalmente que nas séries iniciais do Ensino Fundamental a receptividade é bem grande, pois há interesse, disciplina, participação e as dúvidas são resolvidas com mis facilidade. Também uso outras metodologias, como jogos, resolução de problemas e trabalho em conjunto com outras disciplinas através de projetos desenvolvidos pelo corpo docente da escola.
Quanto mais leciono, mais eu percebo o quanto o ensino deve ser modificado, é uma luta diária, a cada aula, a cada aluno uma aula diferente. Há poucos dias me espantei ao perceber que alunos da 8a. Série, que vieram esse ano para a escola onde leciono, não sabiam que quando falamos que um número passa para o outro lado da igualdade e troca-se seu sinal é por que estamos usando o princípio da igualdade, ou seja, não sabiam nem o próprio significado do sinal de igual, quando coloquei o número oposto de um lado da igualdade e do outro lado o repeti, a sala silenciou e percebi que alguns “olhinhos” brilharam, sempre foram ensinados a fazerem tão mecanicamente que nunca perceberam essa passagem.
Não tirem o brilho dos olhos dos seus alunos, faça você também a diferença, não precisa ser mágico ou malabarista, basta ir atrás de seu sonho, o trabalho será recompensado com aulas melhores e alunos melhores.
Espero que esse trabalho leve a cada leitor a descoberta da importância da utilização da História na Educação, não só da Matemática, mas em qualquer momento do ensino e, nas mais diversas disciplinas.
É a comunicação passada ao longo dos tempos, formadora de uma memória coletiva, que permite que ação individual se aflore e que cada indivíduo se torne capaz de agir e pensar, criando assim o que se chama cultura.
A cultura é essencial para que o conhecimento matemático se torne pleno. Acredito que a História da Matemática, entre as diversas abordagens de ensino, seja o carro condutor para que isso aconteça. Segundo D´Ambrosio (1994): [81] “A percepção da humanidade nos convida a um pensar sobre a História da Matemática e sobre a própria Matemática”.
Viver hoje em globalização é viver uma EtnoMatemática. D´Ambrosio (2002) define como:
Uma importante vertente da EtnoMatemática se aproxima da etnografia e focaliza os saberes e fazeres de várias culturas, como grupos étnicos, religiosos, comunitários e profissionais, e de práticas variadas, tais como aquelas ligadas à elaboração de saberes, às artes, ao cotidiano, ao exercício político, ao lazer e ao lúdico. [82]
D´Ambrosio em 1986, pela primeira vez, usou o termo EtnoMatemática inserindo-o dentro da História da Matemática, ressaltando a importância dessa abordagem.
A partir desse trabalho, tenho certeza que ficará bem mais fácil, pelo menos para mim, elaborar um plano escolar mais histórico, ou pelo menos utilizar, sem medo, mais fatos históricos, como grande aliado na aquisição de conhecimentos que tenham reflexo na aprendizagem da Matemática.
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GLOSSÁRIO
Alexander Graham Bell – (1847-1922), inventor norte-americano (nascido no Reino-Unido) do telefone e pioneiro da gravação de sons. |
Antônio José Lopes “Bigode” – Nasceu |
Antonio Miguel – É licenciado em Matemática pela PUC de Campinas e doutor |
Atlas – Coleção de mapas ou cartas geográficas em volume. |
Aurélio Buarque de Holanda Ferreira – (1910-1989), lexicógrafo, filólogo e escritor brasileiro, membro da Academia Brasileira de Letras e Academia Brasileira de Filologia e também da Associação Brasileira de Escritores. |
Barômetro – Instrumento dedicado à medição da pressão atmosférica. |
Celso Antunes – Nascido CEMPEM – Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa CIBEM – Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática. Edna Maura Zuffi – Professora Doutora do Departamento de Matemática do ICMC-USP – Campus de São Carlos. |
Egito – País do extremo nordeste da África, limitado em seu litoral pelo Mar Vermelho e pelo Mediterrâneo, tendo Israel a nordeste, o Sudão ao sul e a Líbia a oeste. Geralmente é seco e quente. Berço das primeiras civilizações do Velho Mundo junto com a Mesopotâmia. |
Eratosthenes – (276 – 194 a.C.), astrônomo e erudito grego nascido |
Frações – Quando a totalidade é dividida em um certo número de partes iguais, cada uma dessas partes é uma fração. |
Hipotenusa – É o lado oposto ao ângulo reto em um triângulo retângulo. |
IME-USP – Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Itália – País do sul da Europa que faz fronteira ao norte com França, Suíça, Áustria e Eslovênia, cujo território principal forma uma península no mar Mediterrâneo e inclui as ilhas de Sardenha, Sicília, Ischia e Capri. Lucas Factor Feliciano – Professor licenciado em Matemática no ICMC-USP. |
Mapa Mundi – Mapa que representada toda a superfície da Terra em dois, em dois hemisférios. Mapa do Mundo. |
Maria Ângela Miorim – É licenciada e bacharel em Matemática, pela Unicamp, mestre em Matemática, pelo IMECC-Unicamp, e doutora em Educação pela FE-Unicamp. Professora do Departamento de Metodologia de Ensino da FE-Unicamp e coordenadora do Grupo de Pesquisa HIFEM filiado ao CEMPEM da FE-Unicamp. MEC – Ministério da Educação e Cultura do Brasil. |
Mesopotâmia – (do grego entre rios), território que se estende entre os rios Eufrates e Tigre, no Oriente Médio, onde hoje se localiza a cidade Bagdá. A Mesopotâmia é de fundamental importância como uma das primeiras grande civilizações da Antiguidade. Foi lá que se desenvolveram a vida urbana e a linguagem escrita; escavações revelaram o legado artístico da região. |
Miniestação Meteorológica – é um conjunto de instrumentos metereológicos que permitem um estudo científico da atmosfera em escala global, dentro de regiões e em localidades específicas, e a formulação de conclusões que permitem as previsões sobre o tempo. |
Números Abundantes – São números cuja soma de seus divisores próprios, exceto ele mesmo, é maior que o próprio número. |
Números Amigos – São dois números cuja soma de seus divisores próprios são iguais. Ex.: 220 e 268. Numeração decimal – Para efetuar pequenas contagens, antigamente o homem utilizava os dedos das mãos. Esse fato determinou a nossa base de contagem: base 10 ou decimal. Efetuar uma contagem em base decimal é agrupar os elementos de dez em dez. cada grupo de dez corresponde a uma dezena e os elementos que sobram correspondem às unidades. |
Números Deficientes - São números cuja soma de seus divisores próprios, exceto ele mesmo, é menor que o próprio número. |
Números Hindo Arábicos – Símbolos utilizados normalmente para expressar números. São 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. De origem árabe. |
Números Naturais – São os números mais simples. Símbolo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} |
Números perfeitos - São números cuja soma de seus divisores próprios, exceto ele mesmo, é igual ao próprio número. |
Números primos - Os que têm por únicos divisores exatos a unidade e eles mesmos. Por ex., 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... |
Números racionais – O mesmo que números fracionários (ver frações). |
Números romanos – É o conjunto de sete letras do alfabeto, que representam números. I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500 e M – 1000. |
Operacional – Sistema de operações lógicas. |
Paquistão – País do Sul da Ásia cujas fronteiras são o Irã a oeste, o Afeganistão a noroeste, a China a nordeste e a Índia a leste. |
Pascal, Blaise – (1623 – 1662), Matemático, físico, filósofo religioso e homem de letras francês. Como menino prodígio, aos 12 anos trabalhava por conta própria com base nos Elementos, de Euclides. Em 1642 desenvolveu uma calculadora mecânica, inventou a seringa e a prensa hidráulica e os fundamentos do cálculo das probabilidades. |
Paulo Coelho – Carioca de 1947, compositor, jornalista, diretor e ator de teatro. Membro da Academia Brasileira de Letras. |
Pluviômetro – Instrumento usado para medir a quantidade de chuva caída em determinado lugar e em determinado tempo. PUC-SP – Pontifica Universidade Católica de São Paulo. PUC-RJ - Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro. |
Quatro operações – Entende-se das quatro operações, as operações básicas da Matemática: +, -, x e ÷ . |
Real – Moeda portuguesa antiga. Antiga unidade do sistema monetário de Portugal e do Brasil. |
Regra de Divisibilidade – São condições necessárias para que um número possa ser divido por outro número. |
Retórico – Equivalente ao um conjunto de regras. |
Roma – Cidade situada à beira do rio Tibre, capital da Itália e bispado do papa. Foi o coração do Império Romano. Uma lenda conta que os gêmeos Rômulo (de quem supostamente deriva o nome da cidade) e Remo, amamentados por uma loba, começaram os primeiros povoamentos, na colina Palatinos. Seus maiores feitos foram arquitetônicos, como arcos e abóbadas, tem como maiores construções o Coliseu (70- SEF – Secretaria do Ensino Fundamental – MEC/Brasil. |
Simbólico – Ciência que procura explicar os símbolos. |
Termômetro – Instrumento de medição de temperatura, cujo funcionamento se baseia no estabelecimento do equilíbrio térmico entre ele o sistema cuja temperatura se quer determinar. |
Turquia – País Euro-asiático, dividido em duas partes pelo estreito de Bósforo, pelo mar de Mármara e pelo canal de Dardanelos. A parte menor, localizada na Europa, faz fronteira com a Bulgária e a Grécia. A Maior parte localiza-se na Ásia. Compreende toda a Ásia menor e é conhecido como Anatólia. |
Ubiratan D´Ambrosio – Nascido UFES – Universidade Federal do Espírito Santo. UNESP-Rio Claro – Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – Campus de Rio Claro. SITES UTILIZADOS: V CIBEM – julho de 2005. Maria Ângela Miorim acesso em 11/05/2006. Congresso Ibero-Americano de educação matemática – grupo de discussão 6 – história da matemática. Livros didáticos de matemática do período de implantação do movimento da matemática moderna no Brasil. history of the international study group on the relations between the history and pedagogy of mathematics: the first twenty-five years, 1976-2000. acesso em 11/05/2006. international meeting of the HPM – blumenau – Brasil, 1994 – historia da matemática na sala de aula: esperanças, incertezas e perigos. Por Jaime carvalho e Silva – Universidade de Coimbra – Portugual – Departamento de matemática – anais em 18/04/2006. history topic: na overwien of the history of mathematics. Acesso em 18/04/2006. |
[1] International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics, grupo filiado á Comissão Internacional de Ensino de Matemática (ICMI) – In: Miguel & Miorim. História na Educação Matemática – Propostas e desafios, Ed. Autêntica, 2004, p. 10.
[2] Extraído da introdução do texto: A História da Matemática – Questões Historiográficas e Políticas e Reflexos na Educação Matemática – Encontrado no site oficial de Ubiratan D´Ambrosio: http://sites.oul.com.br/ vello/ubi.htm.
[3] Extraído do material fornecido para as aulas de Fundamentos da Educação Matemática ministrada pela Profa. Ms. Cristiane Coppe de Oliveira, Pós-Graduação da UnG/SP.
[4] Admur Severino Pamplona, cita Machado em: A História no ensino de estatística no contexto da Educação Matemática – Poster apresentado na 1a. SPHEM em 2005 realizado no Campus da IME USP-SP – extraído do site: www.ime.usp.br/~sphem/documentos/sphem-posteres.pdf, acesso em: 16/05/2006.
[5] Esses autores escreveram: A investigação científica em História da Matemática e suas relações com o programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – In: Educação Matemática: Pesquisa em movimento. Organizadores : Bicudo, Maria Ap. V., Borba, Marcelo de Carvalho, 2004, p. 165, São Paulo. Editora Cortez.
[6] Extraído do texto: História do Grupo de Estudo Internacional nas relações entre a História e Pedagogia de Matemática: Os primeiros vinte cinco anos, 1976-2000. Site: www.clab.edc.uoc.gr/ hpm/HPMhistory.pdf, acesso em: 05/06/2006.
[7] Trecho extraído do Documento de Discussão – Estudo do ICMI no papel da História da Matemática no ensino e conhecimento de Matemática, organizado por Jonh Fauvel em 1997, Site: http://www.mathunion.org/ ICMI/bulletin/42/icmi.HistoricalStudy.html, acesso em: 01/04/2006 – Versão escrita por mim.
[8] History of Mathematics in the classroom: hopes, uncertainties and dangers – In: Meeting of the International Study Groups on Relations Between History and Pedagogy of Mathematics. Reunião Internacional do HPM realizado em Blumenau-Brasil em 25 a 27 de Julho de 1994, Anais organizado por Sergio Roberto Nobre, p. 129-135, UNESP-Rio Claro ou Site: www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/ hpm.html, acesso em: 18/04/2006 – Versão escrita por mim.
[9] História, Filosofia e Educação Matemática, filiado ao CEMPEM – Círculo de Estudo Memória e Pesquisa em Educação Matemática.
[12] Esses autores escreveram: A investigação científica em História da Matemática e suas relações com o programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – In: Educação Matemática: Pesquisa em movimento. Organizadores : Bicudo, Maria Ap. V., Borba, Marcelo de Carvalho, 2004, p. 166-168. São Paulo. Editora Cortez.
[13] Admur Severino Pamplona, cita Machado em: A História no ensino de estatística no contexto da Educação Matemática – Poster apresentado na 1a. SPHEM em 2005 realizado no Campus da IME USP-SP – extraído do site: www.ime.usp.br/~sphem/documentos/sphem-posteres.pdf, acesso em: 16/05/2006.
[14] Investigação científica em História da Matemática e suas relações com o programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – In: Educação Matemática: Pesquisa em movimento. Organizadores : Bicudo, Maria Ap. V, Borba, Marcelo de Carvalho, 2004, p. 166-168. São Paulo. Editora Cortez.
[15] Miguel & Miorim, 2004, p. 17. Citando o Novíssimo Programa do Ensino Secundário – nos termos do Artigo 10 do Decreto Nº 19.890 de 18 de Abril de 1931 – Rio de Janeiro.
[16] Marcílio, M. Luiza, cita Nelson Piletti em: História da escola em São Paulo e no Brasil, 2005, p. 128.
[17] Marcílio, M. Luiza, cita Anísio Teixeira em: História da escola em São Paulo e no Brasil, 2005, p. 127.
[18] Marcílio, M. Luiza, cita os Normalistas em: História da escola em São Paulo e no Brasil, 2005, p.238.
[19] Valente, Wagner R. - Ghemat, 2005 – CD-ROM: A Matemática do Ginásio – Livros Didáticos e as Reformas Campos e Capanema.
[20] Valente, Wagner R. - Ghemat, 2005 – CD-ROM: A Matemática do Ginásio – Livros Didáticos e as Reformas Campos e Capanema.
[24] D´Augustine, Charles H. Multiple Methods of Teaching Mathematics in the Elementary School – Métodos Modernos para o ensino da Matemática, 1976, 2ª. Edição, Ao Livro Técnico, 1976, p. XXII.
[25] D´Augustine, Charles H. Multiple Methods of Teaching Mathematics in the Elementary School – Métodos Modernos para o ensino da Matemática, 1976, 2ª. Edição, Ao Livro Técnico, 1976, p. 12.
[26] Marcílio, M. L. História da escola em São Paulo e no Brasil, Impressa Oficial, 2005, p. 151 – referindo-se a Nova Constituição de 1967, artigo 168.
[27] Marcílio, M. L, cita Sposito em: História da escola em São Paulo e no Brasil, Impressa Oficial, 2005, p. 278.
[28] Apud Piletti, 1995, p. 64 – In: Marcílio, M. L. História da escola em São Paulo e no Brasil, Impressa Oficial, 2005, p. 289.
[30] Artigo 210 da Constituição Federal do Brasil de 05/10/1988, Seção I da Educação. In: Manuais de Legislação. Ed. Atlas. São Paulo. p. 118.
[35] D´Ambrosio, Ubiratan. Educação Matemática da teoria à prática, Papirus, 2005, 12a. Edição, p. 84.
[36] Tradução de Nobre, Baroni & Teixeira. - In: Educação Matemática: Pesquisa em movimento. Organizadores : Bicudo, Maria Ap. V, Borba, Marcelo de Carvalho, 2004, p. 166-168. São Paulo. Editora Cortez.
[37] Investigação científica em História da Matemática e suas relações com o programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – In: Educação Matemática: Pesquisa em movimento. Organizadores : Bicudo, Maria Ap. V, Borba, Marcelo de Carvalho, 2004, p. 172. São Paulo. Editora Cortez.
[41] Tradução: O educador deve fazer passar novamente por onde passaram seus antepassados; mais rapidamente, mas sem omitir etapa. Por essa razão, a História da Ciência deve ser nosso primeiro guia.
[42] Miorim, M. A. Livros Didáticos de Matemática do período de implantação do Movimento da Matemática Moderna no Brasil – V CIBEM, 2005. http://www.mytwt.net/cibem5/MyFiles/outros/Maria_Angela_ Miorim.pdf, acesso em 15/05/2006.
[43] D´Ambrosio, Ubiratan. Educação Matemática da teoria à prática. Papirus, 2005, 12a. Edição, p. 13.
[44] GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática, fundada em outubro de 1961, por professores do Estado de São Paulo, tendo como principal representante Osvaldo Sangiorgi.
[46] Miguel & Miorim. A História na Educação Matemática – Propostas e desafios. Autêntica, 2004, p.47-48 – Referindo-se aos três porquês descritos por Jones, 1969: 1º. Porquê Cronológico; 2º. Porquê Lógico e 3º. Porquê Pedagógico.
[47] Mendes, Iran A. O uso da História no ensino da Matemática – Reflexões teóricas e experiências. 2001, p. 40.
[57] Profa. Ms. Cristiane Coppe se baseia no relatório-avaliação sugerido por Ubiratan D´Ambrosio no livro Educação Matemática – da teoria à prática, 12a. Edição, 2005, p. 71.
[58] Maria Ap. Viggiani Bicudo, cita Schubring em: Pesquisa em Educação Matemática : Concepções e perspectivas, 1997, p. 132.
[61] Texto original: Every teacher of secondary and college mathematics should know the history of mathematics. There are many reasons, but perhaps the most important is that it is a guide to pedagogy. In: Mathematical People – Profiles and Interviews. Donald J. Albers and G. L. Alexanderson, Editors, 1985, Inc. Birkhäuser Boston – Morris Kline interviewed by G. L. Alexanderson, p. 171. Versão feita por mim.
[68] A defesa dos quatro argumentos questionadores apresentados nesse capítulo foi extraída do livro: História da Educação Matemática – Propostas e Desafios de Miguel & Miorim, 1997, p. 62-68.
[70] Ubiratan D’Ambrosio extraiu de Hans Freudenthal: “Should a mathematics teacher know something about the History of Mathematics?” For the Learning of Mathematics, vol. 2, nº 1, July 1981.
[72] Trabalho interdisciplinar entre a História e a Matemática: do Rio antigo ao lançamento do Real, com título: História combina com Matemática da revista Nova Escola – edição especial – PCN fáceis de entender de 5ª a 8ª série – p. 43 - Editora Abril.
[73] Revista Nova Escola – edição especial – PCN fáceis de entender de 5ª a 8ª série – p. 21 – Editora Abril.
[74] Atividade adaptada por Lenice Massarin Figueiredo, baseada nas ilustrações do livro Matemática hoje é feita assim Bigode, José Antônio Lopes – Capítulo I do 1º volume - FTD.
[75] Extraído da revista projeto escolar – Uso do Jornal em sala de aula – Matemática 5ª e 6ª - Folha de São Paulo.
[76] Revista Nova Escola – edição especial – PCN fáceis de entender de 5ª a 8ª série – p. 51 – Editora Abril.
[77] A idéia de montar um supermercado fictício para os alunos aprenderem lidar com pesos e medidas, cálculo mental, números inteiros e números decimais, também é encontrada na Revista Nova Escola – edição especial – PCN fáceis de entender de 1ª a 4ª série. Os alunos pesquisam sobre a História da contagem, a evolução do comércio, o aparecimento do dinheiro, tudo relacionados a contextos matemáticos e históricos.
[79] Livro História na Educação Matemática: Propostas e desafios – Coleção Tendências em Ed. Matemática , p. 43, 2004. Belo Horizonte - Ed. Autêntica.
[80] Livro História na Educação Matemática: Propostas e desafios – Coleção Tendências em Ed. Matemática , p. 42, 2004. Belo Horizonte - Ed. Autêntica.
[81] Ubiratan D´Ambrosio escreveu: O futuro da História: Algumas preocupações Metodológicas. In: Meeting of the International Study Groups on Relations Between History and Pedagogy of Mathematics. Anais da Reunião Internacional do HPM de 1994, Organizador: Sergio Roberto Nobre, UNESP-Rio Claro.
[82] Ubiratan D´Ambrosio, São Paulo, Junho de 2002 no site: http://phoenix.sce.fct.unl.pt/GEPEm/ubi.htm, acesso em: 13/08/2006.
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